Факторизация полиномов над конечными полями
УДК
519.115.1DOI:
https://doi.org/10.31429/vestnik-15-3-6-11Аннотация
Законы факторизации неприводимых полиномов с целыми коэффициентами над конечными полями - давняя задача теории чисел и алгебры. Различные законы взаимности теории чисел в той или иной степени связаны с этой задачей. Группа Галуа неприводимого полинома $f(x)$ степени $n$ над полем рациональных чисел, рассматриваемая как подгруппа симметрической группы $S_{n}$, фактически описывает возможные типы факторизаций полинома $f(x)$ по простым модулям, а теоремы плотности Фробениуса и Чеботарева указывают возможную частоту тех или иных типов факторизаций по простым модулям. Следующая задача состоит в описании простых чисел, дающих определенный тип факторизации полинома $f(x)$ в терминах инвариантов, связанных с этим полиномом. Для полиномов с абелевой группой Галуа эту задачу в принципе решает глубокая теория полей классов. Для полиномов с не абелевой группой Галуа имеются лишь результаты для полиномов определенных семейств. В этой статье предлагается метод для решения этой задачи над полем рациональным чисел для кубических полиномов.
Ключевые слова:
неприводимый многочлен, группа Галуа, факторизацияБиблиографические ссылки
- Айерленд К., Раузен М. Классическое введение в современную теорию чисел, М.: Мир, 1987.
- Алгебраическая теория чисел / под ред. Дж. Кассельса, А. Фрёлиха. М.: Мир, 1969.
- Сергеев А.Э., Яковлев А.В. О спектрах Галуа многочленов, зависящих от целочисленных параметров // Записки научных семинаров Санкт-Петербургского отделения математического института имени В.А. Стеклова РАН. 2005. Т. 321. С. 275–280.
- Sergeev A.E., Yakovlev A.V. On Galois spectra of polynomials with integral parameters // Journal of Mathematical Sciences. 2006. Vol. 136. Iss. 3. С. 3984–3987.
- Чеботарев Н. Основы теории Галуа. Л.: ГТТИ, 1934.
- Сергеев А.Э., Сергеев Э.А. Основы теории Галуа. Краснодар: Изд-во КубГУ, 2014. 334 с.
- Сергеев А.Э., Сергеев Э.А., Титов Г.Н., Соколова И.В. Теория чисел. Учеб.-метод. рекомендации и контрольные работы. Краснодар: Изд-во КубГУ, 2010.
- Лихарева Ю.А., Сергеев А.Э., Сергеев Э.А. О функции Эйлера // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета. 2017. № 127. С. 113–125.
- Сергеев А.Э., Соколова И.В. Реализация групп Галуа триномами над полем рациональных чисел $Q$ // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета. 2017. № 131. С. 1497–1524.
- Hasse H. Arithmetische Theorie der kubischen Zahlkörper auf klassenkörpertheoretischer Grundlage // Math. Zeitchr. 1930. Bd. 31, No. 4. S. 565–582.
- Делоне Б., Фадеев Д. Теория иррациональностей третьей степени. М.: Изд.. мaт. ин-та АН СССР, 1940.
- Сергеев Э.А. Научные труды Кубанского университета: Вып. 166: Исследования по алгебре. Краснодар: Кубанский университет, МВ и ССО РСФСР, 1973. 98 с.
- Cauchy A. Exercices de mathématiques, volume 4. Paris, 1829. 420 p.
Загрузки
Отправлено
Опубликовано
Как цитировать
Copyright (c) 2018 Сергеев А.Э.
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.