Факторизация полиномов над конечными полями

  • Сергеев А.Э. Кубанский государственный аграрный университет, Краснодар, Россия
УДК: 519.115.1

Аннотация

Законы факторизации неприводимых полиномов с целыми коэффициентами над конечными полями - давняя задача теории чисел и алгебры. Различные законы взаимности теории чисел в той или иной степени связаны с этой задачей. Группа Галуа неприводимого полинома $f(x)$ степени $n$ над полем рациональных чисел, рассматриваемая как подгруппа симметрической группы $S_{n}$, фактически описывает возможные типы факторизаций полинома $f(x)$ по простым модулям, а теоремы плотности Фробениуса и Чеботарева указывают возможную частоту тех или иных типов факторизаций по простым модулям. Следующая задача состоит в описании простых чисел, дающих определенный тип факторизации полинома $f(x)$ в терминах инвариантов, связанных с этим полиномом. Для полиномов с абелевой группой Галуа эту задачу в принципе решает глубокая теория полей классов. Для полиномов с не абелевой группой Галуа имеются лишь результаты для полиномов определенных семейств. В этой статье предлагается метод для решения этой задачи над полем рациональным чисел для кубических полиномов.

Ключевые слова: неприводимый многочлен, группа Галуа, факторизация

Информация об авторе

Александр Эдуардович Сергеев
канд. физ.-мат. наук, доцент Кубанского государственного аграрного университета
e-mail: galua1979@yandex.ru

Литература

  1. Айерленд К., Раузен М. Классическое введение в современную теорию чисел, М.: Мир, 1987.
  2. Алгебраическая теория чисел / под ред. Дж. Кассельса, А. Фрёлиха. М.: Мир, 1969.
  3. Сергеев А.Э., Яковлев А.В. О спектрах Галуа многочленов, зависящих от целочисленных параметров // Записки научных семинаров Санкт-Петербургского отделения математического института имени В.А. Стеклова РАН. 2005. Т. 321. С. 275–280.
  4. Sergeev A.E., Yakovlev A.V. On Galois spectra of polynomials with integral parameters // Journal of Mathematical Sciences. 2006. Vol. 136. Iss. 3. С. 3984–3987.
  5. Чеботарев Н. Основы теории Галуа. Л.: ГТТИ, 1934.
  6. Сергеев А.Э., Сергеев Э.А. Основы теории Галуа. Краснодар: Изд-во КубГУ, 2014. 334 с.
  7. Сергеев А.Э., Сергеев Э.А., Титов Г.Н., Соколова И.В. Теория чисел. Учеб.-метод. рекомендации и контрольные работы. Краснодар: Изд-во КубГУ, 2010.
  8. Лихарева Ю.А., Сергеев А.Э., Сергеев Э.А. О функции Эйлера // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета. 2017. № 127. С. 113–125.
  9. Сергеев А.Э., Соколова И.В. Реализация групп Галуа триномами над полем рациональных чисел $Q$ // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета. 2017. № 131. С. 1497–1524.
  10. Hasse H. Arithmetische Theorie der kubischen Zahlkörper auf klassenkörpertheoretischer Grundlage // Math. Zeitchr. 1930. Bd. 31, No. 4. S. 565–582.
  11. Делоне Б., Фадеев Д. Теория иррациональностей третьей степени. М.: Изд.. мaт. ин-та АН СССР, 1940.
  12. Сергеев Э.А. Научные труды Кубанского университета: Вып. 166: Исследования по алгебре. Краснодар: Кубанский университет, МВ и ССО РСФСР, 1973. 98 с.
  13. Cauchy A. Exercices de mathématiques, volume 4. Paris, 1829. 420 p.
Страницы
6-11
Раздел
Математика
Прислано
2018-06-28
Опубликовано
2018-09-29