Локальная теорема существования решения обобщённого условия Лапласа

  • Щербаков М.Е. Кубанский государственный университет, Краснодар, Россия
  • Щербаков Е.А. Кубанский государственный университет, Краснодар, Россия
УДК: 517.9 (531/534)

Аннотация

В работе рассматривается обобщённое условие Лапласа, определяющее равновесные формы висящих капель, в том случае, когда принимается во внимание толщина промежуточного слоя. Главная часть дифференциального оператора второго порядка в таком случае, в отличие от классического, представляет собой нелинейный оператор. Для построения ряда, мажорирующего ряд, определяющий решение обобщённого условия Лапласа, в работе конструируется нелинейный дифференциальный оператор первого порядка с аналитическими коэффициентами. С помощью теоремы Шаудера для вполне непрерывных операторов доказывается локальное существование решения этого уравнения в классе аналитических функций. Устанавливается, что построенное решение является положительным. Это позволяет доказать, что ряд, формально определяемый как решение обобщённого условия Лапласа, мажорируется построенным рядом. Доказанная теорема позволяет конструировать сколь угодно точные приближения форм равновесных капель с заданной наперёд высотой. Без существенных изменений метод применим к исследованию сидящих капель.

Ключевые слова: равновесная поверхность, условие Лапласа, промежуточный слой, обобщённое условие Лапласа, средняя кривизна, Гауссова кривизна, задача Коши, теорема Шаудера, мажорирующий ряд

Информация об авторах

Михаил Евгеньевич Щербаков
преподаватель кафедры функционального анализа и алгебры Кубанского государственного университета
Евгений Александрович Щербаков
профессор кафедры теории функций Кубанского государственного университета

Литература

  1. Finn R. Equilibrium Capillary Surfaces. New York, Springer, 1986. 245 p. (Им. перевод Финн Р. Равновесные капиллярные поверхности. Математическая теория. М.: Мир, 1989, 310 с.)
  2. Boruvka L., Neumann A.W. Generalization of Classical Theory of Capillarity // J. Chem. Phys. 1977. Vol. 66. DOI: 10.1063/1.433866
  3. Коровкин В.П., Сажин Ф.М., Секриеру Г.В. О зависимости между капиллярными и расклинивающими силами // Матем. исслед. (Кишинёв). 1989. № 108. С. 28–32.
  4. Maxwell G.C. Capillary Attraction // Encyclopedia Britannica. 9th. Ed., Vol. 5. Samuel L. Hall, New York, 1978 (I.3, I.6)
  5. Shcherbakov E. Equilibrium State of a Pendant Drop with Inter-phase Layer // Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen. 2012. Vol. 31. C. 1–15. DOI: 10.4171/ZAA
  6. Manfredo P. do Carmo. Differential Geometry of Curves and Surfaces. New Jersey, Prentice Hall, 1976. 503 p.
  7. Hutson V., Pym J., Cloud M. Applications of Analysis and Operator Theory. London, Academic Press, 1980. 390 pp. (Им. перевод Хатсон В., Пим Дж. Приложения функционального анализа и теории операторов / Под ред. А.А. Кириллова. М.: Мир, 1989. 431 с.)
  8. Матюхин С.И., Фроленков К.Ю. Форма капель, помещенных на твердую горизонтальную поверхность // Конденсированные среды и межфазные границы. 2013. Т. 15. № 3. С. 292–304.
  9. Klyachin A.A., Klyachin V.A., Grigorieva E.G. Visualization of Stability and Calculation of the Shape of the Equilibrium capillary Surface // Scientific Visualization. 2016. Quart. 2. Vol. 8. No. 2. P. 37–52.
Страницы
14-22
Раздел
Математика
Прислано
2021-03-01
Опубликовано
2021-03-30

Наиболее читаемые статьи этого автора (авторов)