The design of beam structures is an actual scientific task of the development of modern technology. It is often difficult to obtain exact solutions when studying natural and forced vibrations of beam structures within the framework of a continuous homogeneous medium model (continuum mechanics) with an infinite number of degrees of freedom. Therefore, in the article, the model of a beam structure is endowed with a finite number of degrees of freedom placed in the middle of the finite elements at the nodes (the mass of the finite elements is also placed there), which elastically interact with the finite elements of the model that do not have mass. It is assumed that the elements of beam structures work only for bending, which is fully justified by comparing the frequencies of its bending and longitudinal vibrations (the frequency of longitudinal vibrations is two orders of magnitude higher than the frequency of bending vibrations). The resolving system of differential equations of vibrations of beam structures, in which expressions for energies (potential, kinetic and Rayleigh) are written in quadratures, is obtained using Lagrange equations of the 2nd kind. In the article using Green's functions, stiffness, mass, malleability matrices, etc. several problems of free oscillations of beam structures were solved: a cantilever beam with a distributed mass and a tower-type structure (a television tower). The numerical results obtained in the article, when compared with exact solutions implemented using direct and indirect of boundary element methods, as well as with other little-known numerical solutions, with an increase in the number of degrees of freedom (the number of concentrated masses modeling the distributed mass of the beam), showed rapid convergence to exact solutions.

Проектирование стержневых сооружений — актуальная научная задача развития современной техники. Получить точные решения при исследовании собственных и вынужденных колебаний стержневых сооружений в рамках модели сплошной однородной среды (механика сплошных сред) с бесконечным числом степеней свободы часто затруднительно. Поэтому в статье модель стержневого сооружения наделяют конечным числом степеней свободы, размещенным в серединах конечных элементов в узлах (там же размещают и массу конечных элементов), которые упруго взаимодействуют с конечными элементами модели, не имеющими массы. Предполагается, что элементы стержневых сооружений работают только на изгиб, что вполне оправдывается сопоставлением частот его изгибных и продольных колебаний (частота продольных колебаний на два порядка выше частоты изгибных колебаний). Разрешающая система дифференциальных уравнений колебаний стержневых сооружений, в которую в квадратурах записаны выражения для энергий (потенциальной, кинетической и Релея), получена с помощью уравнений Лагранжа 2-го рода. В статье с использованием функций Грина, матриц жесткости, масс, податливости и др. были решены несколько задач о свободных колебаниях стержневых сооружений: консольного стержня с распределенной массой и сооружения башенного типа (телевизионная башня). Полученные в статье численные результаты при их сравнении с точными решениями, реализованными с помощью прямого и непрямого методов граничных элементов, а также с другими малоизвестными численными решениями, при увеличении числа степеней свободы (количества сосредоточенных масс, моделирующих распределенную массу стержня) показали быструю сходимость к точным решениям.