The following boundary value problem for a non-linear functional-differential equation of fractional order is considered:\begin{align*}&D_{0+}^\alpha x(t)+f \left (t,\left(Tx \right)(t) \right)=0,\quad 0<t<1, \quad \alpha\in (2, 3],\\&x(0)=x'(0)=0,\\&x(1)=0.\end{align*}Using special topological tools of nonlinear analysis, we prove the existence of a positive solution to this problem. An example is given that illustrates the fulfillment of sufficient conditions for the unique solvability of the problem. The results obtained complement the author's research on the existence and uniqueness of positive solutions to boundary value problems for non-linear functional-differential equations.

В статье рассматривается периодическая краевая задача для одного нелинейного функционально-дифференциального уравнения второго порядка. С помощью специальных топологических средств, основанных на теории индекса неподвижной точки в полуупорядоченных пространствах, доказано существование по меньшей мере одного положительного решения рассматриваемой задачи. Приведены соответствующие примеры.