In this paper, for the first time, an approach is proposed that allows not only to construct exact solutions to contact problems with a deformable stamp for some types of non-classical domains, but also to explicitly obtain important relations describing new phenomena arising in these problems. By applying the block element method to the study of contact problems for a multilayer medium on the effect of a classical, semi-infinite, stamp and non-classical stamps in the form of a strip and a quarter plane, it was possible to obtain important properties not previously described. These include the following features and results. 1. The contact problem for a deformable stamp is available for solution only after the contact problem for an absolutely rigid stamp has been solved. 2. For the first time, exact solutions have been constructed for the cases of absolutely rigid stamps and deformable stamps of these shapes, the material of which is described by the Helmholtz equation. 3. In cases of dynamic tasks on harmonic effects on stamps, isolated resonances do not occur in contact problems with absolutely rigid stamps. Isolated resonances, first predicted by academician I.I. Vorovich, are present in contact problems with a deformable stamp. 4. The use of the block element method for solving contact problems allows, depending on the shape of the stamp, to obtain an explicit or integral dispersion equation describing resonant frequencies. 5. By the block element method using solutions of a system of Wiener-Hopf integral equations and a universal (fractal) modeling method can be used to solve the considered contact problems with deformable stamps consisting of materials of complex rheologies.

В работе впервые предложен подход, позволяющий не только строить точные решения контактных задач с деформируемым штампом для некоторых типов неклассических областей, но и явно получить важные соотношения, описывающие новые явления, возникающие в этих задачах. Применением метода блочного элемента к исследованию контактных задач для многослойной среды о действии на нее классического, полубесконечного, штампа и неклассических штампов в форме полосы и четверти плоскости удалось получить важные, ранее не описанные свойства. К ним относятся следующие особенности и результаты. 1. Контактная задача для деформируемого штампа доступна для решения, только после того, когда решена контактная задача для абсолютно жесткого штампа. 2. Впервые построены точные решения для случаев абсолютно жестких штампов и деформируемых штампов указанных форм, материал которых описывается уравнением Гельмгольца. 3. В случаях динамических задач о гармонических воздействиях на штампы, в контактных задачах с абсолютно жесткими штампами, не возникают изолированные резонансы. В контактных задачах с деформируемым штампом изолированные резонансы, впервые предсказанные академиком И.И.Воровичем, присутствуют. 4. Применение для решения контактных задач метода блочного элемента позволяет, в зависимости от формы штампа, получать в явном или интегральном виде дисперсионное уравнение, описывающее резонансные частоты. 5. Методом блочного элемента с применением решения системы интегральных уравнений Винера-Хопфа и универсального (фрактального) метода моделирования можно строить решение рассматриваемых контактных задач с деформируемыми штампами, состоящими из материалов сложных реологий.