vestnik Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества Ecological Bulletin of Research Centers of the Black Sea Economic Cooperation 1729-5459 Кубанский государственный университет RU 1043 10.31429/vestnik-21-1-6-20 Научная статья Original article Механика Mechanics Математические аналоги и аналогии для решения задач методом граничных элементов Mathematical analogs and analogies for solving problems by the boundary element method https://orcid.org/0000-0003-0845-2880 Великанов П.Г. Великанов Петр Геннадьевич Velikanov Peter G. pvelikanov@mail.ru

канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры реактивных двигателей и энергетических установок Казанского национального исследовательского технического университета им. А.Н. Туполева - КАИ

 Казанский (Приволжский) федеральный университет, Казанский национальный исследовательский технический университет им. А.Н. Туполева-КАИ, КазаньKazan (Volga Region) Federal University, Kazan National Research Technical University named after A.N. Tupolev - KAI, Kazan 27 03 2024 21 1 6 20 17 10 2023 19 12 2023 27 03 2024 Copyright (c) 2024 Великанов П.Г. 2024 Великанов П.Г. Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.

When solving various differential equations (or systems of differential equations), it is often necessary to solve the problem of choosing mathematical analogs (analog is an object (technical solution) of the same purpose, similar in a set of essential features) and analogies (analogy is similarity, equality of relations; similarity of objects (phenomena, processes) in any properties) thanks to which it is often possible to solve the task most rationally. In the article, using the example of solving the problem of deforming a long shallow thermoelastic cylindrical panel according to the Duhamel–Neumann model, mathematical analogs and analogies are used to: select a variety of the boundary element method; select functions (among generalized, functional Gersevanov interrupters and Radzig mirror forms); obtain the components of the matrix of the fundamental solution (using the integral Fourier transform, associated differential operator and functional analysis).

При решении различных дифференциальных уравнений (или систем дифференциальных уравнений) часто приходится решать задачу по выбору математических аналогов (аналог — объект (техническое решение) того же назначения, близкий по совокупности существенных признаков) и аналогий (аналогия — подобие, равенство отношений; сходство предметов (явлений, процессов) в каких-либо свойствах), благодаря которым часто удается наиболее рационально решить поставленную задачу. В статье на примере решения задачи деформирования длинной пологой термоупругой цилиндрической панели по модели, основанной на гипотезах Дюамеля–Неймана, используются математические аналоги и аналогии для: выбора разновидности метода граничных элементов; выбора функций (среди обобщенных, функциональных прерывателей Герсеванова и зеркальных форм Радцига); получения компонент матрицы фундаментального решения (с помощью интегрального преобразования Фурье, ассоциированного дифференциального оператора и функционального анализа).

 математические аналоги и аналогии метод граничных элементов обобщенные функции функциональные прерыватели Герсеванова зеркальные формы Радцига интегральное преобразование Фурье ассоциированный дифференциальный оператор метод функционального анализа длинные пологие термоупругие цилиндрические панели по модели Дюамеля-Неймана mathematical analogs and analogies the boundary element method generalized functions Gersevanov functional interrupters Radzig mirror shapes integral Fourier transform associated differential operator functional analysis method long shallow thermoelastic cylindrical panels according to the Duhamel-Neumann model Гельфанд, И.М., Шилов, Г.Е., Обобщенные функции и действия над ними. Москва, Добросвет, 2000. Шилов, Г.Е., Математический анализ. Второй специальный курс. Москва, Изд-во МГУ, 1984. Владимиров, В.С., Жаринов, В.В., Уравнения математической физики. Москва, Физико-математическая литература, 2000. Шевченко, В.П., Интегральные преобразования в теории пластин и оболочек. Донецк, Донецкий государственный университет, 1977. Хермандер, Л., Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Т. 1. Теория распределений и анализ Фурье. Москва, Мир, 1986. Shanz, M., Antes, H., A boundary integral formulation for the dynamic behavior of a Timoshenko beam. Electronic Journal of Boundary Elements, 2002, vol. BETEQ 2001, no. 3, pp. 348–359. Грибов, А.П., Куканов, Н.И., Фундаментальные решения задач деформирования пластин и панелей с учетом поперечного сдвига. Тезисы докладов XX Международной конференции "Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов". Санкт-Петербург. 2003, с. 68–70. Великанов, П.Г., Исследование термомеханического изгиба длинной пологой цилиндрической панели методом граничных интегральных уравнений. Труды 3-го Международного форума "Актуальные проблемы современной науки. Естественные науки. Ч. 3". Самара: Изд-во СамГТУ, 2007, с. 15–19. Великанов, П.Г., Куканов, Н.И., Халитова, Д.М., Нелинейное деформирование цилиндрической панели ступенчато-переменной жесткости на упругом основании методом граничных элементов. Всероссийская научная конференция с международным участием "Актуальные проблемы механики сплошной среды – 2020", 2020, с. 111–115. Вольмир, А.С., Нелинейная динамика пластинок и оболочек. Москва, Наука, 1972. Артюхин, Ю.П., Грибов, А.П., Решение задач нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек методом граничных элементов. Казаньб Фэн, 2002. Герсеванов, Н.М., Функциональные прерыватели и их приложение в строительной механике. Тр. ВНИИОС. Вып. 2. Москва, Госстройиздат, 1934. Коянкин, А.А., Илизаров, А.Г., Развитие методики расчета балки кусочно-постоянного сечения, выполняемого с использованием прерывателей Герсеванова. Известия высших учебных заведений. Строительство, 2015, № 3 (675), с. 111–118. Радциг, Ю.А., Колупаев, А.Н., Зеркальные функции и их применение при решении задач строительной механики. Москва, Стройиздат, 1980. Адамар, Ж., Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. Москва, Наука, 1978. Градштейн, И.С., Рыжик, И.М., Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Москва, Наука, 1971. Шалин, Р.Е., Авиационные материалы. Справочник в девяти томах. Том 3. Жаропрочные стали и сплавы. Сплавы на основе тугоплавких металлов. Ч. 1. Деформируемые жаропрочные стали и сплавы Москва, ОНТИ, 1989. Нормы прочности авиационных газотурбинных двигателей гражданской авиации. Москва, ЦИАМ, 2004.