The boundary value problem is considered$x'''(t)+f \left (t,\left(Tx \right)(t) \right)=0,\quad 0<t<1,$$x(0)=x(1)=0,$$x''(0)=x''(1),$where $T$ — linear positive continuous operator.

Using the Green's function and Krasnoselsky's fixed point theorem, we formulate and prove the existence of positive solutions to the above boundary value problem for a third-order nonlinear functional differential equation. Next, in the sublinear case, using the fixed point principle, we establish the uniqueness of a positive solution to the problem under study. In addition, an example is given to illustrate the results obtained.

В статье рассматривается краевая задача для одного нелинейного функционально-дифференциального уравнения третьего порядка с симметричными граничными условиями. С помощью теоремы Красносельского о неподвижной точке конуса установлены достаточные условия существования по меньшей мере одного положительного решения рассматриваемой задачи. В сублинейном случае доказана и единственность такого решения. Приведен пример, иллюстрирующий полученные результаты.