vestnik Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества Ecological Bulletin of Research Centers of the Black Sea Economic Cooperation 1729-5459 Кубанский государственный университет RU 1070 10.31429/vestnik-21-4-6-22 Научная статья Original article Механика Mechanics Альтернативные методы получения фундаментальных решений дифференциальных уравнений с частными производными для изотропных материалов. Часть I Alternative methods for obtaining fundamental solutions of partial differential equations\ldots]{Alternative methods for obtaining fundamental solutions of partial differential equations for isotropic materials. Part I https://orcid.org/0000-0003-0845-2880 Великанов П.Г. Великанов Петр Геннадьевич Velikanov Peter G. pvelikanov@mail.ru

канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры реактивных двигателей и энергетических установок Казанского национального исследовательского технического университета им. А.Н. Туполева-КАИ

 Казанский национальный исследовательский технический университет им. А.Н. Туполева - КАИ, КазаньKazan National Research Technical University named after A.N. Tupolev - KAI, Kazan 20 12 2024 21 4 6 22 26 08 2024 06 11 2024 20 12 2024 Copyright (c) 2024 Великанов П.Г. 2024 Великанов П.Г. Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.

Одним из наиболее успешных современных численных методов расчета конструкций является метод граничных элементов (МГЭ). Является актуальным дальнейшее его развитие в различных модификациях для решения задач, основанных на применении предварительно вычисленных точных фундаментальных решений. В статье с помощью альтернативных методов (метод функционального анализа, метод Родена, экспериментально-теоретический метод) удалось существенно упростить методику вычисления фундаментальных решений без необходимости предварительного глубокого изучения математической теории обобщенных функций и без привлечения аппарата операционного исчисления. Отмеченная теория и аппарат часто воспринимаются исследователями как трудные для понимания, что порой ограничивает область применения МГЭ. В статье показано, как с помощью альтернативных методов можно значительно быстрее и с меньшими усилиями получить фундаментальные решения задач изгиба изотропных пластин (в том числе на упругих основаниях Винклера и Пастернака--Власова) и мембран, а также фундаментальные решения для двух- и трехмерных гармонических, бигармонических и полигармонических дифференциальных уравнений.

Одним из наиболее успешных современных численных методов расчета конструкций является метод граничных элементов (МГЭ). Является актуальным дальнейшее его развитие в различных модификациях для решения задач, основанных на применении предварительно вычисленных точных фундаментальных решений. В статье с помощью альтернативных методов (метод функционального анализа, метод Родена, экспериментально-теоретический метод) удалось существенно упростить методику вычисления фундаментальных решений без необходимости предварительного глубокого изучения математической теории обобщенных функций и без привлечения аппарата операционного исчисления. Отмеченная теория и аппарат часто воспринимаются исследователями как трудные для понимания, что порой ограничивает область применения МГЭ. В статье показано, как с помощью альтернативных методов можно значительно быстрее и с меньшими усилиями получить фундаментальные решения задач изгиба изотропных пластин (в том числе на упругих основаниях Винклера и Пастернака--Власова) и мембран, а также фундаментальные решения для двух- и трехмерных гармонических, бигармонических и полигармонических дифференциальных уравнений.

 фундаментальные решения обобщенные функции метод функционального анализа метод Родена экспериментально-теоретический метод fundamental solutions generalized functions functional analysis method Rodin’s method experimental and theoretical method Гельфанд, И.М., Шилов, Г.Е., Обобщенные функции и действия над ними. Москва, Добросвет, 2000. Шилов, Г.Е., Математический анализ. Второй специальный курс. Москва, Изд-во МГУ, 1984. Владимиров, В.С., Жаринов, В.В., Уравнения математической физики. Москва, Физико-математическая литература, 2000. Шевченко, В.П., Интегральные преобразования в теории пластин и оболочек. Донецк, Донецкий государственный университет, 1977. Хермандер, Л., Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Т. 1. Теория распределений и анализ Фурье. Москва, Мир, 1986. Shanz, M., Antes, H., A boundary integral formulation for the dynamic behavior of a Timoshenko beam. Electronic Journal of Boundary Elements, 2002, vol. 3, pp. 348–359. Артюхин, Ю.П., Грибов, А.П., Решение задач нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек методом граничных элементов. Казань, Фэн, 2002. Грибов, А.П., Великанов, П.Г., Применение преобразования Фурье для получения фундаментального решения задачи изгиба ортотропной пластины. В Математическое моделирование и краевые задачи: Труды Всероссийской научной конференции, 2004, ч. 3, с. 67–71. Великанов, П.Г., Исследование термомеханического изгиба длинной пологой цилиндрической панели методом граничных интегральных уравнений. В Труды 3-го Международного форума. "Актуальные проблемы современной науки. Естественные науки". Ч. 3. Самара, Изд-во СамГТУ, 2007, с. 15–19. Кацикаделис, Дж.Т., Граничные элементы: Теория и приложения. Москва, Изд-во Ассоциации строительных вузов, 2007. Великанов, П.Г., Метод граничных интегральных уравнений для решения задач изгиба изотропных пластин, лежащих на сложном двухпараметрическом упругом основании. Известия Саратовского университета. Сер. Математика. Механика. Информатика, 2008, т. 8, вып. 1, с. 36–42. Великанов, П.Г., Куканов, Н.И., Халитова, Д.М., Нелинейное деформирование цилиндрической панели ступенчато-переменной жесткости на упругом основании методом граничных элементов. В Всероссийская научная конференция с международным участием "Актуальные проблемы механики сплошной среды – 2020", 2020, с. 111–115. Великанов, П.Г., Артюхин, Ю.П., Куканов, Н.И., Изгиб анизотропной пластины методом граничных элементов. Актуальные проблемы механики сплошных сред, 2020, с. 105–111. Великанов, П.Г., Куканов, Н.И., Халитова, Д.М., Использование непрямого метода граничных элементов для расчета изотропных пластин на упругом основании Винклера и Пастернака-Власова. Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия, 2021, т. 27, № 2, с. 33–47. Великанов, П.Г., Халитова, Д.М., Решение задач нелинейного деформирования анизотропных пластин и оболочек методом граничных элементов. Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия, 2021, т. 27, № 2, с. 48–61. Великанов, П.Г., Артюхин, Ю.П., Общая теория ортотропных оболочек. Часть I. Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия, 2022, т. 28, № 1–2, с. 46–54. Великанов, П.Г., Артюхин, Ю.П., Общая теория ортотропных оболочек. Часть II. Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия, 2022, т. 28, № 3–4, С. 40–52. Великанов, П.Г., Артюхин, Ю.П., Математические аналогии для решения задач прочности, устойчивости и колебаний ортотропных пластин и оболочек. Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества, 2022, т. 19, № 3, с. 47–54. EDN: JYGZJI DOI: 10.31429/vestnik-19-3-47-54 Великанова, Н.П., Великанов, П.Г., Проверка утверждения академика Новожилова Г.В. о влиянии погрешности в определении напряжений на величину погрешности в определении ресурса на примере основных деталей двигателя. Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества, 2022, т. 19, № 4, с. 48–56. EDN: JZYKZX DOI: 10.31429/vestnik-19-4-48-56 Velikanov, P., Solution of contact problems of anisotropic plates bending on an elastic base using the compensating loads method. In E3S Web of Conferences, 2023, vol. 402 (International Scientific Siberian Transport Forum – TransSiberia 2023), art. 11010. DOI: 10.1051/e3sconf/202340211010 Великанов, П.Г., Артюхин, Ю.П., Исследования по динамике рамных конструкций. Геосистемы переходных зон, 2023, т. 7, no. 2, с. 180–195. Великанов, П.Г., Артюхин, Ю.П., Исследование по динамике многоэтажных зданий. Геосистемы переходных зон, 2023, т. 7, № 3, с. 304–315. Великанов, П.Г., Математические аналоги и аналогии для решения задач методом граничных элементов. Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества, 2024, т. 21, № 1, с. 6–20. EDN: WRVRQN DOI: 10.31429/vestnik-21-1-6-20 Великанов, П.Г., Артюхин, Ю.П., Исследование композитов в виде слоистых ортотропных оболочек. Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества, 2024, т. 21, № 2, с. 23–34. EDN: YPNJFT DOI: 10.31429/vestnik-21-2-23-34 Великанов П.Г., Артюхин Ю.П., Исследование композитов с помощью уравнений общей теории ортотропных оболочек в комплексной форме. Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества, 2024, т. 21, № 3, с. 6–16. EDN: ERCRUG DOI: 10.31429/vestnik-21-3-6-15 Бронштейн, И.Н. Семендяев, К.А., Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. Москва, Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. Коноплев, Ю.Г., Шалабанов, А.К., Метод голографической интерферометрии в задачах о действии локальных нагрузок на пластины и оболочки. Исследования по теории пластин и оболочек, 1976, вып. 12. С. 27–37. Шалабанов, А.К., Новые соотношения теории тонких оболочек. Казань, НОУ ВПО "Академия управления "ТИСБИ"", 2010. Shalabanov, A.K., Three-exposure method of F1 hologram interferometry in mechanics of thin-walld spatial structuries. In Proc. SPIE, 1995, vol. 2545, p. 327–342. Лукасевич, С., Локальные нагрузки в пластинах и оболочках. Москва, Мир, 1982. Артюхин, Ю.П., Гурьянов, Н.Г., Котляр, Л.М., Система Математика 4.0 и ее приложения в механике. Казань, Казанское математическое общество, Изд-во КамПИ, 2002. Великанов П.Г., Основы работы в системе Mathematiсa. Казань, Изд-во Казанского гос. техн. ун-та, 2010. Тимошенко, С.П., Войновский-Кригер, С., Пластинки и оболочки. Москва, Наука, 1966. Полянин, А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. Москва, mbox{ФИЗМАТЛИТ}, 2001. Кончковский, З., Плиты. Статические расчеты. Москва, Стройиздат, 1984. Абрамовиц, М., Стегун, Ш.А., Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами. Москва, Наука, 1979. Савельев, Л.М., Теория пластин и оболочек. Самара, СГАУ, 2013. Саченков, А.В., Теоретико-экспериментальный метод исследования устойчивости пластин и оболочек. Исследования по теории пластин и оболочек, 1970. С. 391–433. Коноплев, Ю.Г., Шалабанов, А.К., Метод голографической интерферометрии в задачах о действии локальных нагрузок на пластины и оболочки. Исследования по теории пластин и оболочек, 1976, вып. 12. С. 27–37. Коноплев, Ю.Г., Исследование больших прогибов круглых пластин при локальных нагрузках. Исследования по теории пластин и оболочек, 1965, вып. 3, с. 81–90. Пономарев, С.Д., Бидерман, В.Л., Расчеты на прочность в машиностроении, т. II. Москва, Машгиз, 1958.