vestnik Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества Ecological Bulletin of Research Centers of the Black Sea Economic Cooperation 1729-5459 Кубанский государственный университет RU 1071 10.31429/vestnik-21-3-45-60 Научная статья Original article Механика Mechanics Изгиб конечного моментного упругого стержня под действием нестационарных нагрузок Bending of a finite moment elastic rod under the effect of an unsteady load https://orcid.org/0000-0002-9556-7442 Тарлаковский Д.В. Тарлаковский Дмитрий Валентинович Tarlakovskii Dmitrii V. tdvhome@mail.ru

д-р физ.-мат. наук, профессор, заведующий лаборатории динамических испытаний Института механики МГУ и Московском авиационном институте (национальном исследовательском университете)

 https://orcid.org/0009-0003-7132-124X Май Куок Чиен Май Куок Чиен Mai Quoc Chien chienvk23@gmail.com

аспирант кафедры «Сопротивление материалов, динамика и прочность машин» Московского авиационного института (национального исследовательского университета)

 НИИ механики МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва; Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), МоскваResearch Institute of Mechanics, Lomonosov Moscow State University, Moscow; Moscow Aviation Institute (National Research University), Moscow Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), МоскваMoscow Aviation Institute (National Research University), Moscow 24 09 2024 21 3 45 60 30 08 2024 31 08 2024 24 09 2024 Copyright (c) 2024 Тарлаковский Д.В., Май К.Ч. 2024 Тарлаковский Д.В., Май К.Ч. Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.

To study the unsteady bending of a moment-elastic rod of finite length under the action of unsteady load. The system of equations of the general model of bodies without additional assumptions is used. The rod material is assumed to be homogeneous and isotropic. In addition to the elastic constants of the material, additional physical parameters of the medium are taken into account, which are necessary when taking into account moment effects in the material. Generalized conditions of hinge support are used as boundary conditions at both ends of the rod. The initial conditions are assumed to be zero. To solve the problem, the expansion of functions and external loads into trigonometric Fourier series is used. Their substitution into the initial relations leads to a system of equations for the coefficients of the series. To solve it, the Laplace transform over time is used. The calculation example considers the bending of a moment-elastic rod under the action of a concentrated force.

Исследуется нестационарный изгиб моментного упругого стержня конечной длины под действием нестационарных нагрузок. Используется система уравнений общей модели тел без дополнительных предположений. Материал стержня предполагается однородным и изотропным. Помимо упругих констант материала учитываются и дополнительные физические параметры среды, необходимые при учете моментных эффектов в материале. В качестве граничных условий на обоих концах стержня используются обобщенные условия шарнирного опирания. Начальные условия предполагаются равными нулю. Для решения задачи используется разложение функций и внешних нагрузок в тригонометрические ряды Фурье. Их подстановка в исходные соотношения приводит к системе уравнений для коэффициентов рядов. Для ее решения используется преобразование Лапласа по времени. В расчетном примере рассматривается изгиб моментно-упругого стержня под действием сосредоточенной силы.

 моментный упругий стержень начально-краевая задача ряды Фурье интегральное преобразование Лапласа функции Грина функции влияния нестационарные процессы moment elastic rod initial boundary value problem Fourier series Laplace integral transform Green's functions transient functions wave processes The work was supported by the Russian Science Foundation (project No. 20-19-00217). Работа выполнена при финансовой поддержке РНФ (проект No 20-19-00217). Cosserat, E., Cosserat, F., Theorie des corps deformables. Paris, A. Hermann et fils, 1909. (Reprint 2009) Ерофеев, В.И., Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой. Москва, Изд-во Моск. ун-та, 1999. Кулеш, М.А., Грекова, Е.Ф., Шардаков, И.Н., Задача о распространении поверхностной волны в редуцированной среде Коссера. Акустический журнал, 2009, т. 55, № 2, с. 216–225. Кулеш, М.А., Матвеенко, В.П., Улитин, М.В., Шардаков, И.Н., Анализ волнового решения уравнений эластокинетики среды Коссера в случае плоских объемных волн. ПМТФ, 2008, т. 49, № 2, с. 196–203. Кулеш, М.А., Матвеенко, В.П., Шардаков, И.Н., Дисперсия и поляризация поверхностных волн Рэлея для среды Коссера. Изв. РАН. МТТ, 2007, № 4, с. 100–113. Кулеш, М.А., Матвеенко, В.П., Шардаков, И.Н., О распространении упругих поверхностных волн в среде Коссера. Акустический журнал, 2006, т. 52, № 2, с. 227–235. Лай, Тхань Туан, Тарлаковский, Д.В., Распространение нестационарных кинематических возмущений от сферической полости в псевдоконтинууме Коссера. МКМК, 2011, т. 17, № 2, с. 184–195. Лай, Тхань Туан, Тарлаковский, Д.В., Распространение нестационарных осесимметричных возмущений от поверхности шара, заполненного псевдоупругой средой Коссера. Электронный журнал "Труды МАИ", 2012, № 53. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=29267 Лай, Тхань Туан, Тарлаковский, Д.В., Дифракция нестационарных волн на сферической полости в псевдоконтинууме Коссера. РЭНСИТ, 2013, т. 5, № 1, с. 119–125. Ерофеев, В.И., Кажаев, В.В., Семерикова, Н.П., Макромеханическое моделирование упругой и вязкоупругой сред Коссера. Вычисл. мех. сплош. сред, 2009, т. 2, № 2, с. 40–47. Садовский, В.М., Садовская, О.В., Варыгина, М.П., Численное моделирование пространственных волновых движений в моментных средах. Вычисл. мех. сплош. сред, 2009, т. 2, № 4, с. 111–121. Саркисян, С.О., Хачатрян, М.В., Математическая модель статической деформации микрополярного упругого стержня с круговой осью и метод конечных элементов. 60 Международная научная конференция "Актуальные проблемы прочности", Витебск, 14–18 мая 2018 года. Витебск: Витебский государственный технологический университет, 2018, с. 198–200. Саркисян, С.О., Хачатрян, М.В., Построение модели изгиба микрополярных упругих тонких стержней с круговой осью и ее реализация методом конечных элементов. Вычислительная механика сплошных сред, 2020, т. 13, № 3, с. 256–268. Илюхин, А.А., Тимошенко, Д.В., Построение основных соотношений одномерной микрополярной теории упругих стрежней. Изв. Сарат. ун-та. Нов. cер. Сер. Математика. Механика. Информатика, 2008, т. 8, № 4, с. 52–61. Илюхин, А.А., Попов, А.К., Растяжение микрополярного естественно закрученного стержня. Научно-технический вестник Поволжья, 2011, № 6, с. 37–42. Aganovi'{c}, I., Tambav{c}a, J., Tutek, Z., Derivation of the model of elastic curved rods from three-dimensional micropolar elasticity. Annali dell'Universita di Ferrara, 2007, vol. 53, iss. 2, p. 109–133. DOI: 10.1007/s11565-007-0017-x Михайлова, Е.Ю., Тарлаковский, Д.В., Федотенков, Г.В., Обобщенная линейная модель динамики тонких упругих оболочек. Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки, 2018, т. 160, кн. 3, с. 561–577. Mai, Q.C., Ryazantseva, M.Y., Tarlakovskii, D.V., Generalized linear model of dynamics of elastic moment shells. In: Altenbach, H., Eremeyev, V.A., Igumnov, L.A., Bragov, A. (eds), Deformation and Destruction of Materials and Structures Under Quasi-static and Impulse Loading. Advanced Structured Materials, 2023. vol. 186, Springer, Cham. DOI: 10.1007/978-3-031-22093-711 Тарлаковский, Д.В., Федотенков, Г.В., Май, Куок Чиен, Продольные нестационарные колебания конечного моментного упругого стержня. Проблемы прочности и пластичности, 2023, т. 85, № 3, с. 390–403. DOI: 10.32326/1814-9146-2023-85-3-390-403 Okonechnikov, A.S., Tarlakovsky, D.V., Fedotenkov, G.V., Spatial non-stationary contact problem for a cylindrical shell and absolutely rigid body. Mechanics of Solids, 2020, vol. 55, iss. 3, pp. 366–376. DOI: 10.3103/S0025654420030127 Vahterova, Y.A., Fedotenkov, G.V., The inverse problem of recovering an unsteady linear load for an elastic rod of finite length. Journal of Applied Engineering Science, 2020, vol. 18, iss. 4, pp. 687–692. DOI: 10.5937/jaes0-28073 Fedotenkov, G.V., Tarlakovsky, D.V., Vahterova, Y.A., Identification of non-stationary load upon Timoshenko beam. Lobachevskii Journal of Mathematics, 2019, vol. 40, no. 4, pp. 439–447. DOI: 10.1134/S1995080219040061 Fedotenkov, G.V., Gritskov, A.V., Levitskiy, D.Y., Vahterova, Y.A., Sun, Y., Timoshenko beam and plate non-stationary vibrations. INCAS Bulletin, 2021, vol. 13, Special Issue, pp. 41–56. DOI: 10.13111/2066-8201.2021.13.S.5 Lokteva, N.A., Serdyuk, D.О., Skopintsev, P.D., Transient deformation of an anisotropic cylindrical shell with structural features. Journal of The Institution of Engineers (India): Series C, 2023, vol. 104, iss. 2, pp. 455–466. DOI: 10.1007/s40032-023-00915-2 Lokteva, N.A., Serdyuk, D.О., Skopintsev, P.D., Non-stationary influence function for an unbounded anisotropic Kirchhoff-love shell. Journal of Applied Engineering Science, 2020, vol. 18, iss. 4, pp. 737–744. DOI: 10.5937/jaes0-28205