vestnik Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества Ecological Bulletin of Research Centers of the Black Sea Economic Cooperation 1729-5459 Кубанский государственный университет RU 1074 10.31429/vestnik-21-4-45-54 Научная статья Original article Механика Mechanics Реконструкция переменных теплофизических свойств прямоугольной области Reconstruction of variable thermophysical properties of a rectangular region https://orcid.org/0000-0003-3780-5104 Нестеров С.А. Нестеров Сергей Анатольевич Nesterov Sergey A. 1079@list.ru

д-р физ.-мат. наук, ведущий научный сотрудник отдела дифференциальных уравнений Южного математического института - филиала ВНЦ РАН

 Южный математический институт - филиал Владикавказского научного центра РАН, ВладикавказSouthern Mathematical Institute, a branch of the Vladikavkaz Scientific Center of the Russian Academy of Sciences, Vladikavkaz 20 12 2024 21 4 45 54 14 10 2024 27 11 2024 20 12 2024 Copyright (c) 2024 Нестеров С.А. 2024 Нестеров С.А. Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.

The article studies a two-dimensional coefficient inverse problem of heat conductivity based on reconstruction of variable thermophysical properties of a rectangular region. Zero temperature is specified on the lower side of the functionally gradient rectangle, the lateral sides are thermally insulated, and an unsteady heat flux acts on the upper side. The temperature specified on the upper boundary of the rectangular region for some moments of time serves as additional information. The solution of the direct problem in a weak formulation is implemented in the finite element package FreeFem++. The influence of the thermal conductivity coefficient and specific heat capacity on the temperature of the upper face is investigated. A projection-iteration scheme for solving the inverse problem is proposed. Thermophysical characteristics at each stage of the iteration process are presented as an expansion in a system of polynomials. The expansion coefficients are determined by solving a system of algebraic equations obtained by discretizing the Fredholm integral equation of the first kind. Tikhonov's method is used to regularize the ill-conditioned algebraic system of equations. The results of separate reconstruction of the coefficient of thermal conductivity and specific heat capacity of a rectangle for monotone functions are presented.

Исследуется двумерная коэффициентная обратная задачи теплопроводности по реконструкции переменных теплофизических свойств прямоугольника. Решение прямой задачи в слабой постановке реализовано в конечно-элементном пакете FreeFem++. Исследовано влияние коэффициента теплопроводности и удельной теплоемкости на температуру верхней грани. Решение обратной задачи построено на проекционно-итерационной схеме. На каждом этапе итерационного процесса искомые функции представлены в виде разложений по заданным системам функций. Коэффициенты разложения определяются путем решения системы алгебраических уравнений, полученной при дискретизации интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода. Представлены результаты раздельной реконструкции коэффициента теплопроводности и удельной теплоемкости прямоугольника для монотонных функций.

 интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода идентификация прямоугольная область коэффициент теплопроводности удельная теплоемкость коэффициентная обратная задача пакет FreeFem итерационно-проекционный подход Fredholm integral equation of the first kind identification rectangular domain coefficient of thermal conductivity specific heat capacity coefficient inverse problem finite element package FreeFem iterative-projection approach. Nemat-Alla, M., Reduction of thermal stresses by composition optimization of two-dimensional functionally graded materials. Acta Mechanica, 2009, vol. 208, pp. 147–161. DOI: 10.1007/s00707-008-0136-1 Kieback, B., Neubrand, A., Riedel, H., Processing techniques for functionally graded materials. Materials Science and Engineering: A, 2003, vol. 362, pp. 81–105. DOI: 10.1016/S0921-5093(03)00578-1 Birman, V., Byrd, L.W., Modeling and analysis of functionally graded materials and structures. Applied Mechanics Reviews, 2007, vol. 60(5), pp. 195–216. DOI: 10.1115/1.2777164 Gupta, A., Talha, M., Recent development in modeling and analysis of functionally graded materials and structures. Progress in Aerospace Sciences, 2015, vol. 79, pp. 1–14. DOI: 10.1016/j.paerosci.2015.07.001 Ватульян, А.О., Нестеров, С.А., Коэффициентные обратные задачи термомеханики. Ростов-на-Дону – Таганрог, Издательство Южного федерального университета, 2022. Полатов, А., Икрамов, А., Жуманиёзов, С., Сапаев, Ш., Компьютерное моделирование двумерных нестационарных задач теплопроводности для неоднородных тел методом конечных элементов. Проблемы вычислительной и прикладной математики, 2022, № 2(39), с. 61–71. Жуков, М.Ю., Ширяева, Е.В., Решение задач математической физики при помощи пакета конечных элементов FreeFem++. Ростов-на-Дону, Издательство Южного федерального университета, 2005. Font, R., Periago, F. The finite element method with FreeFem++ for beginners. The Electronic Journal of Mathematics and Technology, 2013, vol. 7, no. 4, pp. 289–307. Алифанов, О.М., Артюхин, Е.А., Румянцев, С.В., Экстремальные методы решения некорректных задач. Москва, Наука, 1988. Кабанихин, С.И., Гасанов, А., Пененко, А.В., Метод градиентного спуска для решения коэффициентной обратной задачи теплопроводности. Сибирский журнал вычислительной математики, 2008, т. 11, № 1, с. 41–54. </span>">10.1134/S1995423908010047] DOI: 10.1007/s12258-008-1004-x Cao, K., Lesnic, D., Determination of space-dependent coefficients from temperature measurements using the conjugate gradient method. Numerical Methods for Partial Differential Equations, 2018, vol. 34, no. 4, pp. 1370–1400. DOI: 10.1002/num.22262 Dulikravich, G.S., Reddy, S.R., Pasqualette, M.A., Colaco, M.J., Orlande, H.R., Coverston, J., Inverse determination of spatially varying material coefficients in solid objects. Journal of Inverse and Ill-posed Problems, 2016, vol. 24, pp. 181–194. DOI: 10.1515/jiip-2015-0057 Huang, C.H., Chin, S.C., A two-dimensional inverse problem in imaging the thermal conductivity of a non-homogeneous medium. International Journal of Heat and Mass Transfer, 2000, vol. 43(22), pp. 4061–4071. DOI: 10.1016/S0017-9310(00)00044-2 Huang, C.H., Huang, C.Y., An inverse problem in estimating simultaneously the effective thermal conductivity and volumetric heat capacity of biological tissue. Applied Mathematical Modelling, 2007, vol. 31(9), pp. 1785–1797. DOI: 10.1016/j.apm.2006.06.002 Reddy, S.R., Dulikravich, G.S., Zeidi, S.M.J., Non-destructive estimation of spatially varying thermal conductivity in 3D objects using boundary thermal measurements. International Journal of Thermal Sciences, 2017, vol. 118, pp. 488–496. DOI: 10.1016/j.ijthermalsci.2017.05.011 Raudensky, M., Woodbary, K. A., Kral, J., Genetic algorithm in solution of inverse heat conduction problems. Numerical Heat Transfer. Part B: Fundamentals, 1995, vol. 28, no. 3, pp. 293–306. DOI: 10.1080/10407799508928835 Yeung, W.K., Lam, T.T., Second-order finite difference approximation for inverse determination of thermal conductivity. International Journal of Heat and Mass Transfer, 1996, vol. 39 (17), pp. 3685–3693. DOI: 10.1016/0017-9310(96)00028-2 Danilaev, P.G., Coefficient inverse problems for parabolic type equations and their applications. Utrecht, Boston, Koln, Tokyo, VSP, 2001. Xu, M.H., Cheng, J.C., Chang, S.Y., Reconstruction theory of the thermal conductivity depth profiles by the modulated photo reflectance technique. Journal of Applied Physics, 2004, vol. 84, no. 2, pp. 675–682. DOI: 10.1063/1.368122 Nedin, R., Nesterov, S., Vatulyan, A., Identification of thermal conductivity coefficient and volumetric heat capacity of functionally graded materials. International Journal of Heat and Mass Transfer, 2016, vol. 102, pp. 213–218. DOI: 10.1016/j.ijheatmasstransfer.2016.06.027 Ватульян, А.О., Нестеров, С.А., Об особенностях идентификации переменных термомеханических характеристик функционально-градиентного прямоугольника. Вычислительная механика сплошных сред, 2023, т. 16, № 4, с. 504–516. DOI: 10.7242/1999-6691/2023.16.4.42 Нестеров, С.А., О различных подходах к решению коэффициентной обратной задачи теплопроводности для неоднородного стержня. Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества, 2024, т. 21, № 3, с. 32–44. . DOI: 10.31429/vestnik-21-3-32-44 EDN: IXLFIG Богачев, И.В., Недин, Р.Д., Идентификация двумерных полей предварительных напряжений в неоднородных пластинах. Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика, 2023. т. 23, №. 4, с. 456–471. DOI: 10.18500/1816-9791-2023-23-4-456-471 Ватульян, А.О., Богачев, И.В., О проекционном методе идентификации характеристик неоднородных тел. ДАН, 2018, т. 478, № 5, с. 532–535. </span>">10.1134/S1028335818020088] DOI: 10.7868/S0869565218050079 Тихонов, А.Н., Гончарский, А.В., Степанов, В.В., Ягола, А.Г., Численные методы решения некорректных задач. Москва, Наука, 1990.