На отрезке [0,1] рассматривается двухточечная краевая задача для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения четного порядка. С помощью теоремы Красносельского о неподвижных точках в конусе получены достаточные условия существования по меньшей мере одного положительного решения рассматриваемой задачи. Приведены примеры, иллюстрирующие полученные результаты.

The boundary value problem is considered\begin{align*}&x^{(2n)}(t)+f(t,x(t))=0,\qquad 0<t<1,\\&x(0)=x'(0)=\dots=x^{(2n-2)}(0)=0, \\&x(1)=0,\end{align*}where $n\in N$, the function $f(t,u)$ is non-negative and continuous on $[0, 1]\times [0,\infty)$, and $f(\,\cdot\,, 0)\equiv0$.

Using Krasnoselsky's theorem on fixed points in a cone, sufficient conditions for the existence of at least one positive solution to the problem under consideration are obtained. Examples are given to illustrate the results obtained.