vestnik Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества Ecological Bulletin of Research Centers of the Black Sea Economic Cooperation 1729-5459 Кубанский государственный университет RU 1105 10.31429/vestnik-22-2-15-30 Научная статья Original article Механика Mechanics Альтернативные методы получения фундаментальных решений дифференциальных уравнений и систем в частных производных для изо- и ортотропных материалов. Часть II Alternative methods for obtaining fundamental solutions of differential equations and partial differential systems for isotropic and orthotropic materials. Part II https://orcid.org/0000-0003-0845-2880 Великанов П.Г. Великанов Пётр Геннадьевич Velikanov Peter G. pvelikanov@mail.ru

канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры реактивных двигателей и энергетических установок Казанского национального исследовательского технического университета им. А.Н. Туполева – КАИ

 Казанский национальный исследовательский технический университет им. А.Н. Туполева – КАИKazan National Research Technical University named after A.N. Tupolev – KAI 30 06 2025 22 2 15 30 01 06 2025 26 06 2025 30 06 2025 Copyright (c) 2025 Великанов П.Г. 2025 Великанов П.Г. Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.

Среди трех наиболее распространенных в настоящее время численных методов (метод конечных элементов (МКЭ), метод конечных разностей (МКР) и метод граничных элементов (МГЭ)) незаслуженно мало внимания обычно уделяется именно МГЭ, хотя он, как МКЭ и МКР, также является одним из наиболее успешных современных численных методов с высокой точностью полученных результатов для вычисления самых разнообразных и сложных (многосвязных, геометрически и физически нелинейных) конструкций. В этой связи представляется актуальным дальнейшее развитие МГЭ в различных его модификациях для решения задач, основанных на применении предварительно вычисленных точных фундаментальных решений. В данной статье (часть II), являющейся логическим продолжением ранее опубликованной статьи (часть I), с помощью альтернативных методов (метод разложения на плоские волны (метод Радона) и метод функционального анализа для предварительно найденного ассоциированного дифференциального оператора) удалось существенно упростить методику вычисления фундаментальных решений без необходимости предварительного глубокого изучения математической теории обобщенных функций и без привлечения аппарата операционного исчисления. Отмеченная теория и аппарат, к сожалению, до сих пор часто воспринимаются исследователями как трудные для понимания, что порой ограничивает область применения МГЭ. В статье показано, как с помощью альтернативных методов можно значительно быстрее и с меньшими усилиями получить фундаментальные решения задач об изгибе и плосконапряженном состоянии изо- и ортотропных пластин.

Among the three most common numerical methods currently used (finite element method (FEM), finite difference method (FDM), and boundary element method (BEM)), undeservedly little attention is usually paid to BEM, although it, like FEM and FDM, is also one of the most successful modern numerical methods with high accuracy calculations for calculating the most diverse and complex (multiconnected, geometrically and physically nonlinear) structures. In this regard, it seems relevant to further develop the BEM in its various modifications to solve problems based on the application of precomputed exact fundamental solutions. In this article (Part II), which is a logical continuation of the previously published article (Part I), using alternative methods (the method of decomposition into plane waves (the Radon method) and the method of functional analysis for a previously found associated differential operator), it was possible to significantly simplify the methodology for calculating fundamental solutions without the need for a preliminary in-depth study of the mathematical theory of generalized functions. and without involving the operational calculus apparatus. Unfortunately, the mentioned theory and apparatus are still often perceived by researchers as difficult to understand, which sometimes limits the scope of the IGE. The article shows how, using alternative methods, it is possible to obtain fundamental solutions to problems of bending and plane-stressed state of iso- and orthotropic plates much faster and with less effort.

 фундаментальные решения обобщенные функции метод разложения на плоские волны метод Радона метод функционального анализа ассоциированный дифференциальный оператор изотропные пластины ортотропные пластины fundamental solutions generalized functions plane wave decomposition method Radon method functional analysis method associated differential operator isotropic plates orthotropic plates Гельфанд, И.М., Шилов, Г.Е., Обобщенные функции и действия над ними. Москва, Добросвет, 2000. Шилов, Г.Е., Математический анализ. Второй специальный курс. Москва, Изд-во МГУ, 1984. Владимиров, В.С., Жаринов, В.В., Уравнения математической физики. Москва, Физико-математическая литература, 2000. Шевченко, В.П., Интегральные преобразования в теории пластин и оболочек. Донецк, Донецкий государственный университет, 1977. Великанов, П.Г., Альтернативные методы получения фундаментальных решений дифференциальных уравнений с частными производными для изотропных материалов. Часть I. Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества, 2024, т. 21, № 4, с. 6–22. EDN: DMWKQC DOI: 10.31429/vestnik-21-4-6-22 Хермандер, Л., Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Т. 1. Теория распределений и анализ Фурье. Москва, Мир, 1986. Shanz, M., Antes, H., A boundary integral formulation for the dynamic behavior of a Timoshenko beam. Electronic Journal of Boundary Elements, 2002, vol. BETEQ 2001, no. 3, pp. 348–359. Артюхин, Ю.П., Грибов, А.П., Решение задач нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек методом граничных элементов. Казань, Фэн, 2002. Грибов, А.П., Великанов, П.Г., Применение преобразования Фурье для получения фундаментального решения задачи изгиба ортотропной пластины. В Труды Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи", 2004, ч. 3, с. 67–71. Великанов, П.Г., Исследование термомеханического изгиба длинной пологой цилиндрической панели методом граничных интегральных уравнений. В Труды 3-го Международного форума "Актуальные проблемы современной науки. Естественные науки". Ч. 3. Самара, Изд-во СамГТУ, 2007, с. 15–19. Великанов, П.Г., Метод граничных интегральных уравнений для решения задач изгиба изотропных пластин, лежащих на сложном двухпараметрическом упругом основании. Известия Саратовского университета. Сер. Математика. Механика. Информатика, 2008, т. 8, вып. 1, с. 36–42. Великанов, П.Г., Куканов, Н.И., Халитова, Д.М., Нелинейное деформирование цилиндрической панели ступенчато-переменной жесткости на упругом основании методом граничных элементов. В Всероссийская научная конференция с международным участием "Актуальные проблемы механики сплошной среды – 2020", 2020, с. 111–115. Великанов, П.Г., Артюхин, Ю.П., Куканов, Н.И., Изгиб анизотропной пластины методом граничных элементов. Актуальные проблемы механики сплошных сред, 2020, с. 105–111. Великанов, П.Г., Куканов, Н.И., Халитова, Д.М., Использование непрямого метода граничных элементов для расчета изотропных пластин на упругом основании Винклера и Пастернака-Власова. Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия, 2021, т. 27, № 2, с. 33–47. Великанов, П.Г., Халитова, Д.М., Решение задач нелинейного деформирования анизотропных пластин и оболочек методом граничных элементов. Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия, 2021, т. 27, № 2, с. 48–61. Великанов, П.Г., Артюхин, Ю.П., Общая теория ортотропных оболочек. Часть I. Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия, 2022, т. 28, № 1–2, с. 46–54. Великанов, П.Г., Артюхин, Ю.П., Общая теория ортотропных оболочек. Часть II. Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия, 2022, т. 28, № 3–4, c. 40–52. Великанов, П.Г., Артюхин, Ю.П., Математические аналогии для решения задач прочности, устойчивости и колебаний ортотропных пластин и оболочек. Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества, 2022, т. 19, № 3, с. 47–54. EDN: JYGZJI DOI: 10.31429/vestnik-19-3-47-54 Великанова, Н.П., Великанов, П.Г., Проверка утверждения академика Новожилова Г.В. о влиянии погрешности в определении напряжений на величину погрешности в определении ресурса на примере основных деталей двигателя. Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества, 2022, т. 19, № 4, с. 48–56. EDN: JZYKZX DOI: 10.31429/vestnik-19-4-48-56 Velikanov, P., Solution of contact problems of anisotropic plates bending on an elastic base using the compensating loads method. E3S Web of Conferences, 2023, vol. 402 (International Scientific Siberian Transport Forum – TransSiberia 2023), art. 11010. DOI: 10.1051/e3sconf/202340211010 Великанов, П.Г., Артюхин, Ю.П., Исследования по динамике рамных конструкций. Геосистемы переходных зон, 2023, т. 7, № 2, с. 180–195. Великанов, П.Г., Артюхин, Ю.П., Исследование по динамике многоэтажных зданий. Геосистемы переходных зон, 2023, т. 7, № 3, с. 304–315. Великанов, П.Г., Математические аналоги и аналогии для решения задач методом граничных элементов. Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества, 2024, т. 21, № 1, с. 6–20. EDN: WRVRQN DOI: 10.31429/vestnik-21-1-6-20 Великанов, П.Г., Артюхин, Ю.П., Исследование композитов в виде слоистых ортотропных оболочек. Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества, 2024, т. 21, № 2, с. 23–34. EDN: YPNJFT DOI: 10.31429/vestnik-21-2-23-34 Великанов П.Г., Артюхин Ю.П., Исследование композитов с помощью уравнений общей теории ортотропных оболочек в комплексной форме. Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества, 2024, т. 21, № 3, с. 6–15. EDN: ERCRUG DOI: 10.31429/vestnik-21-3-6-15 Артюхин, Ю.П., Гурьянов, Н.Г., Котляр, Л.М., Система Математика 4.0 и ее приложения в механике. Казань, Казанское математическое общество, Изд-во КамПИ, 2002. Костин, В.А., Снегуренко, А.П., Идентификация поля цилиндрических жесткостей изотропных и ортотропных пластин. Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева, 2001, № 2, с. 3–9. Великанов, П.Г., Основы работы в системе Mathematiсa. Казань, Изд-во Казанского гос. техн. ун-та, 2010.