vestnik Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества Ecological Bulletin of Research Centers of the Black Sea Economic Cooperation 1729-5459 Кубанский государственный университет RU 1125 10.31429/vestnik-23-1-8-21 Научная статья Original article Механика Mechanics Операционный и безоперационный методы получения фундаментальных решений дифференциальных уравнений в частных производных для нанопластин. Часть III Operational and non-operational methods for obtaining fundamental solutions of~partial differential equations for nanoplates. Part III https://orcid.org/0000-0003-0845-2880 Великанов П.Г. Великанов Пётр Геннадьевич Velikanov Peter G. pvelikanov@mail.ru

канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры реактивных двигателей и энергетических установок и кафедры машиноведения и инженерной графики Казанского национального исследовательского технического университета им. А.Н. Туполева–КАИ

 Казанский национальный исследовательский технический университет им. А.Н. Туполева–КАИKazan National Research Technical University named after A.N. Tupolev–KAI 24 03 2026 23 1 8 21 16 11 2025 02 03 2026 24 03 2026 Copyright (c) 2026 Великанов П.Г. 2026 Великанов П.Г. Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.

В настоящее время известно много численных методов, но, к сожалению, методу граничных элементов (МГЭ) и его модификациям уделяется незаслуженно мало внимания, хотя он, как метод конечных элементов и метод конечных разностей, также является одним из наиболее успешных современных численных методов с высокой точностью полученных результатов. В этой связи представляется актуальным дальнейшее развитие МГЭ для решения задач, основанных на применении предварительно вычисленных точных фундаментальных решений. В данной статье (часть III), являющейся логическим продолжением ранее опубликованных статей (части I и II), с помощью операционного (метод комплексного интегрального преобразования Фурье) и безоперационного (метод функционального анализа) методов удалось решить задачу по поиску фундаментального решения линейного дифференциального уравнения в частных производных с постоянными коэффициентами на примере задачи изгиба тонкой однородной изотропной нанопластины, дифференциальное уравнение для которой получено в рамках нелокальной теории микроструктурной деформации. Показано, что метод функционального анализа позволил существенно упростить методику вычисления фундаментальных решений без необходимости предварительного глубокого изучения математической теории обобщенных функций и без привлечения аппарата операционного исчисления. Отмеченная теория и аппарат, к сожалению, до сих пор часто воспринимаются исследователями как трудные для понимания, что порой ограничивает область применения МГЭ.

Currently, many numerical methods are known, but, unfortunately, the boundary element method (BEM) and its modifications receive undeservedly little attention, although it, like the finite element method and the finite difference method, is also one of the most successful modern numerical methods with high accuracy of the results obtained. In this regard, it seems relevant to further develop the BEM to solve problems based on the application of precomputed exact fundamental solutions. In this article (Part III), which is a logical continuation of previously published articles (Parts I and II), using operational (the method of complex integral Fourier transform) and non-operational (the method of functional analysis) methods, it was possible to solve the problem of finding a fundamental solution to a linear partial differential equation with constant coefficients using the example of the bending problem of a thin a homogeneous isotropic nanoplate, the differential equation for which is obtained within the framework of the nonlocal theory of microstructural deformation. It is shown that the method of functional analysis made it possible to significantly simplify the methodology for calculating fundamental solutions without the need for a preliminary in-depth study of the mathematical theory of generalized functions and without involving the apparatus of operational calculus. Unfortunately, the mentioned theory and apparatus are still often perceived by researchers as difficult to understand, which sometimes limits the scope of the BEM.

 нанопластины фундаментальные решения обобщенные функции метод функционального анализа изотропные пластины nanoplates fundamental solutions generalized functions functional analysis method isotropic plates Omar, I., Marhoon, Th., Babadoust, Sh., Najm, A.Sh., Pirmoradian, M., Salahshour, S., Sajadi, S.M., Static stability of functionally graded porous nanoplates under uniform and non-uniform in-plane loads and various boundary conditions based on the nonlocal strain gradient theory. Results in Engineering, 2025, vol. 25, art. 103612. DOI: 10.1016/j.rineng.2024.103612 Ullah, S., Bo, H., Zhang, J., Javed, M.F., Chen, W., Buckling behavior of orthotropic thin plates using analytical and machine learning methods. Engineering Structures, 2025, vol. 324, art. 119376. DOI: 10.1016/j.engstruct.2024.119376 Zhou, Y., Huang, K., Static and dynamic stabilities of modified gradient elastic Kirchhoff–-Love plates. European Journal of Mechanics / A Solids, 2024, vol. 108, art. 105426. DOI: 10.1016/j.euromechsol.2024.105426 Li, L., Tang H., Hu, Yu., The effect of thickness on the mechanics of nanobeams. International Journal of Engineering Science, 2018, vol. 123, pp. 81–91. DOI: 10.1016/j.ijengsci.2017.11.021 Ansari, R., Gholami, R., Rouhi, H., Vibration analysis of single-walled carbon nanotubes using different gradient elasticity theories. Composites B: Engineering, 2012, vol. 43, iss. 8, pp. 2985–2989. DOI: 10.1016/j.compositesb.2012.05.049 Mindlin, R.D., Eshel, N.N., On first strain-gradient theories in linear elasticity. International Journal of Solids and Structures, 1968, vol. 4, pp. 109–124. DOI: 10.1016/0020-7683(68)90036-X Papargyri-Beskou, S., Giannakopoulos, A.E., Beskos, D.E., Variational analysis of gradient elastic flexural plates under static loading. International Journal of Solids and Structures, 2010, vol. 47, iss. 20, pp. 2755–2766. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2010.06.003 Zhou Y., Huang K. On simplified deformation gradient theory of modified gradient elastic Kirchhoff–-Love plate. European Journal of Mechanics / A Solids, 2023, vol. 100, art. 105014. DOI: 10.1016/j.euromechsol.2023.105014 Гельфанд, И.М., Шилов, Г.Е., Обобщенные функции и действия над ними. Москва, Добросвет, 2000. Шилов, Г.Е., Математический анализ. Второй специальный курс. Москва, Изд-во МГУ, 1984. Владимиров, В.С., Жаринов, В.В., Уравнения математической физики. Москва, Физико-математическая литература, 2000. Шевченко, В.П., Интегральные преобразования в теории пластин и оболочек. Донецк, Донецкий государственный университет, 1977. Великанов, П.Г., Альтернативные методы получения фундаментальных решений дифференциальных уравнений с частными производными для изотропных материалов. Часть I. Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества, 2024, т. 21, № 4, с. 6–22. EDN: DMWKQC DOI: 10.31429/vestnik-21-4-6-22 Великанов, П.Г., Альтернативные методы получения фундаментальных решений дифференциальных уравнений и систем в частных производных для изо- и ортотропных материалов. Часть II. Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества, 2025, т. 22, № 2, с. 15–30. EDN: SBDBCP DOI: 10.31429/vestnik-22-2-15-30 Хермандер, Л., Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Т. 1. Теория распределений и анализ Фурье. Москва, Мир, 1986. Shanz, M., Antes, H., A boundary integral formulation for the dynamic behavior of a Timoshenko beam. Electronic Journal of Boundary Elements, 2002, vol. BETEQ 2001, no. 3, pp. 348–359. Артюхин, Ю.П., Грибов, А.П., Решение задач нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек методом граничных элементов. Казань, Фэн, 2002. Грибов, А.П., Великанов, П.Г., Применение преобразования Фурье для получения фундаментального решения задачи изгиба ортотропной пластины. В Математическое моделирование и краевые задачи: Труды Всероссийской научной конференции, 2004, ч. 3, с. 67–71. Великанов, П.Г., Исследование термомеханического изгиба длинной пологой цилиндрической панели методом граничных интегральных уравнений. В Труды 3-го Международного форума "Актуальные проблемы современной науки. Естественные науки". Ч. 3. Самара: Изд-во СамГТУ, 2007, с. 15–19. Великанов, П.Г., Метод граничных интегральных уравнений для решения задач изгиба изотропных пластин, лежащих на сложном двухпараметрическом упругом основании. Известия Саратовского университета. Сер. Математика. Механика. Информатика, 2008, Т. 8. вып. 1, с. 36–42. Великанов, П.Г., Куканов, Н.И., Халитова, Д.М., Нелинейное деформирование цилиндрической панели ступенчато-переменной жесткости на упругом основании методом граничных элементов. В Всероссийская научная конференция с международным участием "Актуальные проблемы механики сплошной среды – 2020", 2020, с. 111–115. Великанов, П.Г., Артюхин, Ю.П., Куканов, Н.И., Изгиб анизотропной пластины методом граничных элементов. В сб. Актуальные проблемы механики сплошных сред, 2020, с. 105–111. Великанов, П.Г., Куканов, Н.И., Халитова, Д.М., Использование непрямого метода граничных элементов для расчета изотропных пластин на упругом основании Винклера и Пастернака–Власова. Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия, 2021, т. 27, № 2, с. 33–47. Великанов, П.Г., Халитова, Д.М., Решение задач нелинейного деформирования анизотропных пластин и оболочек методом граничных элементов. Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия, 2021, т. 27, № 2, с. 48–61. Великанов, П.Г., Артюхин, Ю.П., Общая теория ортотропных оболочек. Часть I. Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия, 2022, т. 28, № 1–2, с. 46–54. Великанов, П.Г., Артюхин, Ю.П., Общая теория ортотропных оболочек. Часть II. Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия, 2022, т. 28, № 3–4, с. 40–52. Великанов, П.Г., Артюхин, Ю.П., Математические аналогии для решения задач прочности, устойчивости и колебаний ортотропных пластин и оболочек. Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества, 2022, т. 19, № 3, с. 47–54. EDN: JYGZJI DOI: 10.31429/vestnik-19-3-47-54 Великанова, Н.П., Великанов, П.Г., Проверка утверждения академика Новожилова Г.В. о влиянии погрешности в определении напряжений на величину погрешности в определении ресурса на примере основных деталей двигателя. Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества, 2022, т. 19, № 4, с. 48–56. Velikanov, P., Solution of contact problems of anisotropic plates bending on an elastic base using the compensating loads method. E3S Web of Conferences, 2023, vol. 402 (International Scientific Siberian Transport Forum – TransSiberia 2023), art. 11010. DOI: 10.1051/e3sconf/202340211010 Великанов, П.Г., Артюхин, Ю.П., Исследования по динамике рамных конструкций. Геосистемы переходных зон, 2023, т. 7, № 2, с. 180–195. Великанов, П.Г., Артюхин, Ю.П., Исследование по динамике многоэтажных зданий. Геосистемы переходных зон, 2023, т. 7, № 3, с. 304–315. Великанов, П.Г., Математические аналоги и аналогии для решения задач методом граничных элементов. Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества, 2024, т. 21, № 1, с. 6–20. EDN: WRVRQN. DOI: 10.31429/vestnik-21-1-6-20 Великанов, П.Г., Артюхин, Ю.П., Исследование композитов в виде слоистых ортотропных оболочек. Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества, 2024, т. 21, № 2, с. 23–34. Великанов, П.Г., Артюхин, Ю.П., Исследование композитов с помощью уравнений общей теории ортотропных оболочек в комплексной форме. Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества, 2024, т. 21, № 3, с. 6–15. Артюхин, Ю.П., Гурьянов, Н.Г., Котляр, Л.М., Система Математика 4.0 и ее приложения в механике. Казань, Казанское математическое общество, Изд-во КамПИ, 2002. Великанов, П.Г., Основы работы в системе Mathematiсa. Казань, Изд-во Казанского гос. техн. ун-та, 2010.