vestnik Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества Ecological Bulletin of Research Centers of the Black Sea Economic Cooperation 1729-5459 Кубанский государственный университет RU 472 Научная статья Original article Статьи Article Обоснование метода усреднения для одного класса параболических уравнений с большими высокочастотными слагаемыми Averaging method justification for a parabolic equations class with large high-frequency addends Хатламаджиян Г.Л. Хатламаджиян Гаспар Лусегенович Khatlamajiyan Gaspar L. gaspard@yandex.ru

канд. физ.-мат. наук, научный сотрудник факультета математики, механики и компьютерных наук Южного федерального университета

 Южный федеральный университет, Ростов-на-ДонуSouthern Federal University, Rostov-on-Don 29 03 2013 1 68 74 14 09 2012 13 11 2012 29 03 2013 Copyright (c) 2013 Хатламаджиян Г.Л. 2013 Хатламаджиян Г.Л. Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.

Averaging method is justified for the problem of periodical solutions of an abstract parabolic equation with high-frequency addends which amplitudes are proportional to the frequency. The equation under consideration is the generalization of parabolic problems and Navier-Stokes equations and contains addends polynomially (with any degree) depending on the unknown vector-function. The Lyapunov stability and instability of solutions is investigated.

Обоснован метод усреднения для задачи о периодических решениях абстрактного параболического уравнения с высокочастотными слагаемыми, амплитуды которых пропорциональны частоте. Рассматриваемое уравнение обобщает параболические задачи и уравнения Навье-Стокса и содержит слагаемые, полиномиально любой степени зависящие от неизвестной вектор-функции. Исследована устойчивость и неустойчивость решений по Ляпунову.

 метод усреднения абстрактные параболические уравнения большие высокочастотные слагаемые устойчивость averaging method abstract parabolic equations large high-frequency addends stability Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (06-01-00287-а, 12-01-00402-a). Обоснование метода осреднения для задачи конвекции в поле быстро осциллирующих сил и для других параболических уравнений // Мат. сб. 1972. Т. 87. №2. С. 236-253. Юдович В.И. Вибродинамика систем со связями // Докл. РАН. 1997. Т. 354. №5. С. 622-624. Юдович В.И. Вибродинамика и виброгеометрия механических систем со связями // Успехи механики. 2006. Т. 4. №3. С. 26-158. Левенштам В.Б. Обоснование метода усреднения для задачи конвекции при высокочастотных вибрациях // Сиб. мат. журн. 1993. Т. 34. №2. С. 92-109. Левенштам В.Б. Метод усреднения в задаче конвекции при высокочастотных наклонных вибрациях // Сиб. мат. журн. 1996. Т. 37. №5. С. 1103-1116. Левенштам В.Б. Обоснование метода усреднения для параболических уравнений, содержащих быстроосциллирующие слагаемые с большими амплитудами // Изв. РАН. Сер. мат. 2006. Т. 70. №2. С. 174-205. Левенштам В.Б., Хатламаджиян Г.Л. Распространение теории усреднения на дифференциальные уравнения, содержащие быстро осциллирующие слагаемые с большими амплитудами. Задача о периодических решениях // Изв. вузов. Математика. 2006. №6. С. 35-47. Юдович В.И. Метод линеаризации в гидродинамической теории устойчивости. Ростов-н.Д.: Изд-во РГУ, 1984. 190 с. Хатламаджиян Г.Л. Асимптотический анализ некоторых эволюционных задач с большими высокочастотными слагаемыми / Южный фед. университет. Ростов-н.Д., 2007. Деп. в ВИНИТИ 24.09.07, №889-В2007. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука, 1966, 499 с. Симоненко И.Б. Метод усреднения в теории линейных уравнений параболического типа с приложением к задачам гидродинамической устойчивости. Ростов-н.Д.: Изд-во РГУ, 1989. 112 c. Далецкий Ю.А., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970. 534 с. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. 740 с. Hille H., Phillips R.S. Functional analysis and semi-groups. Vol. 31. AMS Colloquium Publications, 1957. 808 p.