vestnik Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества Ecological Bulletin of Research Centers of the Black Sea Economic Cooperation 1729-5459 Кубанский государственный университет RU 630 Научная статья Original article Статьи Article О дисперсионных соотношениях для полого цилиндра в поле неоднородных предварительных напряжений On the dispersion relations for a hollow cylinder within inhomogeneous residual stress field Ватульян А.О. Ватульян Александр Ованесович Vatulyan Aleksandr O. vatulyan@math.rsu.ru

д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры теории упругости Института математики, механики и компьютерных наук Южного федерального университета, зав. отделом Южного математического института Владикавказского научного центра РАН

 Юров В.О. Юров Виктор Олегович Yurov Viktor O. vitja.jurov@yandex.ru

студент Института математики, механики и компьютерных наук Южного федерального университета

 Южный федеральный университет, Ростов-на-ДонуSouthern Federal University, Rostov-on-Don 25 06 2015 2 22 29 08 05 2015 01 06 2015 25 06 2015 Copyright (c) 2015 Ватульян А.О., Юров В.О. 2015 Ватульян А.О., Юров В.О. Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.

Identification of residual stresses is one of the most important technical problems allowing estimating correctly a resource of designs. Nowadays there are several ways to estimate the level of residual stress state, among them the most economic and simple one is the acoustic method connected with the measurement of velocities of elastic waves. The waves in the hollow elastic inhomogeneous cylinder with free boundary are considered in the presence of fields of residual stress of various structure (inflating, stretching, torsion). The defining relation of problems on deformation of elastic bodies with residual stresses is nonlinear; the linearized Trefftz model is used. The structure of dispersive multiplicity of a problem is studied. The analysis of standing waves has allowed to establish, that for any laws of change of residual stresses exists three set of the dispersive curves, differing movement kinematics. Fields of an abnormal dispersion are found. Some features of a structure of dispersive curves are revealed, influence on them of type of residual stresses is investigated. On the basis of a method of disturbances the formulas characterizing linear sites of dispersive curves and the formula, reflecting change of a dispersive picture in a vicinity of resonances of various type are received. The numerical and analytical research, allowed to establish degree of influence of type residual stresses and its amplitudes on structure a component of dispersive set and change of velocities of extending modes is carried out.

Исследованы дисперсионные соотношения в изотропном полом цилиндре, находящемся в поле неоднородных предварительных напряжений (ПН) различной структуры. Изучена структура дисперсионного множества задачи, выявлены некоторые особенности строения дисперсионных кривых, исследовано влияние на них типа ПН. На основе метода возмущений получены формулы, характеризующие линейные участки дисперсионных кривых, и формулы, отражающие изменение дисперсионной картины в окрестности резонансов различного типа.

 предварительные напряжения волны неоднородный цилиндр дисперсионное уравнение асимптотический анализ residual stresses waves inhomogeneous cylinder dispersion relations asymptotic analysis Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ (13-01-00196-а). Углов А.Л., Ерофеев В.И., Смирнов А.Н. Акустический контроль оборудования при изготовлении и эксплуатации. М.: Наука, 2009. 280 с. . Moscow, Nauka Publ., 2009, 280 p. (In Russian)] Никитина Н.Е. Акустоупругость. Опыт практического применения. Нижний Новгород: Издательство ТАЛАМ, 2005. 208 с. . Nizhniy Novgorod, Talam Publ., 2005, 208 p. (In Russian)] Trefftz E. Zur theorie der stabilität des elastischen gleichgewichts // ZAMM. 1933. Vol. 12. No. 2. P. 160-165. Гузь А.Н., Махорт Ф.Г., Гуща О.И. Введение в акустоупругость. Киев: Наукова думка, 1977. 162 с. . Kiev, Naukova dumka Publ., 1977, 162 p. (In Russian)] Ватульян А.О., Дударев В.В., Недин Р.Д. Предварительные напряжения: моделирование и идентификация. Ростов-на-Дону, Издательство ЮФУ, 2014. 206 с. . Rostov-na-Donu, SFEDU Publ., 2014. 206 p. (In Russian)] Ватульян А.О., Недин Р.Д. Модели предварительного напряженного состояния и принципы его идентификации // Итоги науки. Юг России Математический форум. Т. 8, ч. 2. Исследования по дифференциальным уравнениям, математическому моделированию и проблемам математического образования. Владикавказ: ЮМИ ВНЦ и РСО-А, 2014. С. 32-52. . In Itogi nauki. Yug Rossii Matematicheskiy forum. T. 8, ch. 2. Issledovaniya po differentsial'nym uravneniyam, matematicheskomu modelirovaniyu i problemam matematicheskogo obrazovaniya . Vladikavkaz, YuMI VNTs i RSO-A, 2014, pp. 32-52. (In Russian)] Bazant Z.P. A correlation study of formulations of incremental deformation and stability of continuous bodies // J. Appl. Mech. 1971. Vol. 38. P. 919-928. Калинчук В.В., Белянкова Т.И. Динамика поверхности неоднородных сред. М.: Физматлит, 2009. 312 с. . Moscow, Fizmatlit Publ., 2009, 312 p. (In Russian)] Зубов Л.М. Теория малых деформаций предварительно напряженных тонких оболочек // ПММ. 1976. Т. 40. № 1. С. 85-95. . Prikladnaya matematika i mekhanika , 1976, vol. 40, no. 1, pp. 85-95. (In Russian)] Pochhammer L. Über die Fortpflanzungsgeschwindigkeiten kleiner Schwingungen in einem unbegrenzten isotropen Kreiscylinder // J. Reine Angew. Math. 1876. Vol. 81. P. 324-336. Chree C. Longitudinal vibrations of a circular bar // J. Quart. Pure Appl. Math. 1886. Vol. 21. P. 287-298. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. М.: Наука, 1981. 282 с. . Moscow, Nauka Publ., 1981, 282 p. (In Russian)] Ворович И.И., Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М.: Наука, 1979. 320 с. . Moscow, Nauka Publ., 1979, 320 p. (In Russian)] Гетман И.П., Устинов Ю.А. Математическая теория нерегулярных твердых волноводов. Ростов-на-Дону: Изд-во Рост. ун-та, 1993. 144 с. . Rostov-on-Don, Izdatelstvo Rostovskogo univesiteta Publ., 1993, 144 p. (In Russian)] Найфе А.Х. Методы возмущений. М.: Мир, 1976. 454 с. . Moscow, Mir Publ., 1976, 454 p. (In Russian)]