vestnik Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества Ecological Bulletin of Research Centers of the Black Sea Economic Cooperation 1729-5459 Кубанский государственный университет RU 666 Научная статья Original article Статьи Article Решение двумерных задач механодиффузии с помощью интегральных уравнений Вольтерра 1-го рода The solution of two-dimensional problems of mechanical diffusion using the Volterra integral equation of the 1st kind Земсков А.В. Земсков Андрей Владимирович Zemskov Andrey V. azemskoc1975@mail.ru

канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры математического моделирования Московского авиационного института (национального исследовательского университета)

 Тарлаковский Д.В. Тарлаковский Дмитрий Валентинович Tarlakovskii Dmitriy V. tdvhone@mail.ru

д-р. физ.-мат. наук, заведующий лабораторией динамических испытаний НИИ механики МГУ имени М.В. Ломоносова

 Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), МоскваMoscow Aviation Institute (National Research University), Moscow НИИ механики МГУ имени М.В. Ломоносова, МоскваInstitute of Mechanics, Moscow State University, Moscow 22 03 2016 1 49 56 03 03 2016 08 03 2016 22 03 2016 Copyright (c) 2016 Земсков А.В., Тарлаковский Д.В. 2016 Земсков А.В., Тарлаковский Д.В. Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.

Calculation of stress-strain state of structures and their elements, working in conditions of unsteady effects of different physical nature, in the general case reduces to the solution of boundary initial value problems of mechanics-related fields. But the solution of unsteady problems in continuum mechanics along with the elastic diffusion problems is associated with serious mathematical challenges. On the on hand, these are due to the need of Laplace transform conversion used to solve problems of this type. On the other hand, the complexity of solving the unsteady problem significantly increases with its dimension. Depending on certain types of boundary conditions, the solution for these problems may be obtained using the Fourier trigonometric series (or sine and cosine transforms), which significantly simplifies the originals’ finding algorithm. The disadvantage of this method is the restricted application area, which is due to the specifics of boundary conditions. We propose a method to solve the initial value problems of elastic diffusion, based on the construction of a system of Volterra integral equations of the 1st kind. These equations connect the right-hand sides of the boundary conditions of two different tasks of the same dimension and geometry. Kernels of integral operators are the Green's functions of a solved problem. The method is demonstrated on the example of two-dimensional elastic diffusion problem for the orthotropic layer. For the solution of the integral equations the quadrature formulas of medium rectangles are used. As quadrature formulas used rectangles formula. These solutions are presented in the form of graphs.

Предлагается подход к решению начально-краевых задач упругой диффузии, основанный на построении системы интегральных уравнений Вольтерра 1-го рода, связывающих между собой правые части граничных условий двух различных задач одинаковой размерности и геометрии. Ядрами интегральных операторов являются функции Грина какой-либо решенной задачи. Метод продемонстрирован на примере двумерной задачи упругой диффузии для ортотропной полосы. При этом для решения системы интегральных уравнений используются квадратурные формулы.

 упругая диффузия механодиффузия нестационарные задачи функции Грина elastic diffusion mechanical diffusion time-dependent problems Green's function Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (14-08-01161). Земсков А.В.,Тарлаковский Д.В. Двумерная нестационарная задача упругой диффузии для изотропной однокомпонентной полуплоскости // Ученые записки Казанского университета. Серия Физико-математические науки. 2015. Т. 57, книга 4. С. 103-111. . Uchenye zapiski Kazanskogo universiteta. Seriya Fiziko-matematicheskie nauki , 2015, vol. 157, iss. 4, pp. 103-111. (In Russian)] Земсков А.В.,Тарлаковский Д.В. Двумерная нестационарная задача упругой диффузии для изотропного однокомпонентного слоя // Прикладная механика и техническая физика. 2015. Т. 56, no. 6. С. 102-110. . Prikladnaya mekhanika i tekhnicheskaya fizika , 2015, vol. 56, no. 6, pp. 1023-1030. (In Russian)] Zemskov A.V.,Tarlakovskiy D.V. Method of the equivalent boundary conditions in the unsteady problem for elastic diffusion layer // Materials Physics and Mechanics. 2015. Vol. 23, no. 1. pp. 36-41. Tarlakovskiy D.V.,Vestyak V.A.,Zemskov A.V. Dynamic Processes in thermoelectromagnetoelastic and thermoelastodiffusive media // Encyclopedia of thermal stress, Springer Dordrecht Heidelberg New York London, Springer reference. 2014. Vol. 2, C-D, pp. 1064-1071. Журавский А.М. Справочник по эллиптическим функциям. М.: Академия наук СССР, 1941. 236 c. . Moscow, USSR Academy of Sciences Publ., 1941, 236 p. (In Russian)]