vestnik Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества Ecological Bulletin of Research Centers of the Black Sea Economic Cooperation 1729-5459 Кубанский государственный университет RU 691 Научная статья Original article Статьи Article Уровни энергии и волновые функции одноэлектронных состояний в наноразмерных квантовых кольцах The energy levels and wave functions of single-electron states in nano sized quantum rings Тумаев Е.Н. Тумаев Евгений Николаевич Tumayev Evgeniy N. tumayev@phys.kubsu.ru

д-р физ.-мат. наук,заведующий кафедрой теоретической физики и компьютерных технологий Кубанского государственного университета

 Кубанский государственный университет, КраснодарKuban State University, Krasnodar 30 06 2016 2 90 98 06 04 2016 22 04 2016 30 06 2016 Copyright (c) 2016 Тумаев Е.Н. 2016 Тумаев Е.Н. Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.

The electronic states of nanoscale quantum rings containing one electron are studied. Compiled by the Schrodinger equation in the two-dimensional space, for a electron system in the ekhternal potentialfield, describing nanoscale quantum ring heterolayer semiconductor structure. As a potential describing quantum ring are considered potential Volcano and Hill. For the Hill potential theexact solutions of the two-dimensional Schrödinger equation, the study of which is usually carried out by numerical methods, are obtained. A model potential (potential of the "6-2"), describes a unified way as a quantum ring, and a quantum dot in the presence of an external homogeneous constant magnetic field. Analytical methods to obtain new exact solutions of the Schrödinger equation in the class of Heun's functions for the potential "6-2" and the capacity of the Hill. It is shown that the solution of the Schrödinger equation for a single electron in the potential of the "6-2" are expressed in elementary functions only in the case of certain relations between the parameters of the potential well, in other cases they are expressed in terms of Heun's functions. Found energy levels and electron wave functions in the ground state, and some low-lying states for the potential "6-2" for small values of the orbital angular momentum for the values of the parameters of the potential, when the solution of the Schrödinger equation is expressed in terms of elementary functions. A variational method for studying electron states for arbitrary values of the potential parameters, using the results as a starting solution. It is shown that this method allows to obtain the energy levels and wave functions of the ground state of an electron with sufficient accuracy for practical applications.

Исследованы электронные состояния наноразмерных квантовых колец, содержащих один электрон. Аналитическими методами получены новые точные решения уравнения Шредингера в классе функций Гойна для некоторых модельных потенциалов. Предложен потенциал, описывающий двумерное квантовое кольцо, для которого удается получить целый ряд аналитических решений уравнения Шредингера. Развит вариационный метод, опирающийся на полученные точные решения.

 квантовые кольца потенциал Хилла модельный потенциал уравнение Шредингера функции Гойна quantum rings Hill potential model potential Schrodinger equation Heun's functions Работа выполнена при поддержке РФФИ и Министерства образования и науки Краснодарского края (13-01-96525). Ihn T., Fuhrer A., Sigrist M. et al. Quantum mechanics of quantum rings // Adv. in Solid State Physics. 2003. Vol. 43. P. 139-154. Son S.B., Miao Q., Shin J.-Y. et al. Ring and Volcano structures formed by a metal Dipyrromethene complex // Bulletin of the Korean Chemical Society. 2014. Vol. 35. Iss. 6. P. 1727-1731. Васильевский И.С., Виниченко А.Н., Еремин И.С. и др. Особенности формирования ансамблей квантовых колец GaAs/AlGaAs и InGaAs/AlGaAs методом капельной эпитаксии // Вестник национального исследовательского ядерного университета "МИФИ", 2013, Т. 2, № 3, С. 267-272. , 2013, vol. 2, no. 3, pp. 267-272. (In Russain)] Маргулис В.А., Миронов В.А. Магнитный момент кольца Волкано // Физика твёрдого тела. 2008. Т. 50. Вып. 1. С. 148-153. . Physics of the Solid State, 2008, vol. 50. no. 1, pp. 148-153.] Simonin J., Proetto C.R., Barticevic Z. et al. Single-Particle electronic spectra of quantum rings: A comparative study // Phys. Rev. B. 2004. Vol. 70. P. 205305-1-205305-8. Chakraborty T., Pietilainen P. Electron-Electron interaction and the persistent current in a quantum ring // Phys. Rev. B. 1994. Vol. 50. no. 12. P. 8460-8468. Ronveaux A. The Heun's Differential Equation, Oxford University Press, Oxford.1995. 380 p. Славянов С.Ю., Лай В. Специальные функции: единая теория, основанная на анализе особенностей. СПб.: Невский диалект, 2002. 312 с. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Физматлит, 2001. 576 с. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). М.: Физматлит, 2004. 797 с. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Том 1. М.: ИЛ, 1953. 346 с. Третяк Д.Н., Тумаев Е.Н. Квантовая тория низкоразмерных систем. Краснодар: Изд-во Кубанского университета, 2015. 212 с. . Krasnodar, Kuban State Univesity, 2015, 212 p. (In Russian)]