vestnik Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества Ecological Bulletin of Research Centers of the Black Sea Economic Cooperation 1729-5459 Кубанский государственный университет RU 723 Научная статья Original article Статьи Article Область Кебе в классе Монтеля Koebe domain in the Montel class Гаврилюк М.Н. Гаврилюк Михаил Николаевич Gavrilyuk Mikhail N. mngavril@gmail.com

канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры теории функций Кубанского государственного университета

 Кубанский государственный университет, КраснодарKuban State University, Krasnodar 30 03 2017 1 45 50 16 12 2016 12 01 2017 30 03 2017 Copyright (c) 2017 Гаврилюк М.Н. 2017 Гаврилюк М.Н. Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.

Study subclass of the well-known Montel class of regular simple functions, determinated by additional metric condition. Using the module method in form of general theorem of extreme partition of the plane on non-overlapping admissible domains, solve the problem of finding Koebe domain in the pointed class. In terms of moduli domains of extreme partition, which includes extremal configuration, inner and upper boundary of Koebe domain are described. These boundaries are determinated by special equations. For points of inner boundary obtained extreme mapping of the unit disc to the simply connected domain, associated with some quadratic differential. For upper boundary extremal mappings do not exist, but the boundary can not be improved.

В работе решена задача описания области Кебе в одном подклассе известного класса регулярных и однолистных в единичном круге функций. Задача исследовалась методом экстремальных метрик в форме проблемы модуля для двух гомотопических классов кривых на плоскости. Работа принадлежит теории конформных отображений и продолжает направление, начатое в работах Дж. Дженкинса, Кузьминой Г.В., Солынина А.Ю.

 конформное отображение квадратичный дифференциал экстремальная конфигурация экстремальное отображение conformal mapping quadratic differential extremal decomposition extremal mapping Дженкинс Дж. Однолистные функции и конформные отображения. М.: Ин. лит-ра, 1962. 262 с. . Moscow, Inostrannaya literatura Pub., 1962, 262 p. (In Russian)] Кузьмина Г.В. Модули семейств кривых и квадратичные дифференциалы // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1980. Т. 139. 240 с. . Trudy Matematicheskogo instituta AN SSSR , 1980, vol. 139, p. 240. (In Russian)] Jenkins J.A. On the existence of certain general extremal metrics 1, 11. // Ann. Math, 1957, Vol. 66. Iss. 2. P. 440-453; Tokoru Math. J., 1993, vol. 45, iss. 2. P. 249-257. Солынин А.Ю. Модули и экстремально-метрические проблемы // Алгебра и анализ. 1999. Т. 11. Вып. 1. С. 3-86. . Algebra i analiz , 1999, vol. 11, no. 1, pp. 3-86.] Vasil'ev A. Moduli of families of curves for conformal and quasiconformal mappings // Lecture Notes in Math. 2002. Vol. 1788. Springer-Verlag. Berlin. Гаврилюк М.Н., Солынин А.Ю. Применение проблем модуля к некоторым экстремальным задачам. Деп. В ВИНИТИ, № 3072-83. 139 с. . Dep. VINITI, no. 3072-83, 139 p. (In Russian).] Krzyz J., Zlotkiewiez E. Koebe sets for univalent functions with two preassigned points // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A Math. 1971. Vol. 487. P. 45-62. Кузьмина Г.В. Метод модулей и экстремальные задачи в классе $sum left( r right) $ // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2013. Т. 418. С. 136-152. . Zapiski nauchnykh seminarov POMI RAN , 2013, vol. 418, pp. 136-152. (In Russian)] Кузьмина Г.В. Об одной проблеме модуля для семейств кривых. Препринт ЛОМИ Р-6-83, Л., 1983. 43 с. . Preprint LOMI R-6-83, Leningrad, 1983, 43 p. (In Russian)] Солынин А.Ю. Об экстремальных разбиениях плоскости или круга на две неналегающие области. Деп. в ВИНИТИ № 7800-84. 17 с. . Dep. in VINITI, no. 7800-84, 17 p. (In Russian)]