vestnik Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества Ecological Bulletin of Research Centers of the Black Sea Economic Cooperation 1729-5459 Кубанский государственный университет RU 739 Научная статья Original article Статьи Article Равновесие упругого клина с тонким покрытием, ослабленного внутренней прямолинейной трещиной Equilibrium state of the internal crack in infinite elastic wedge with the thin coating Соболь Б.В. Соболь Борис Владимирович Sobol Boris V. b.sobol@mail.ru

д-р тех. наук, профессор, заведующий кафедрой информационных технологий Донского государственного технического университета

 Рашидова Е.В. Рашидова Елена Викторовна Rashidova Elena V. el.rash@mail.ru

канд. физ.-мат. наук, доцент, профессор кафедры информационных технологий Донского государственного технического университета

 Донской государственный технический университет, Ростов-на-ДонуDon State Technical University, Rostov-on-Don 30 06 2017 2 74 85 10 04 2017 27 04 2017 30 06 2017 Copyright (c) 2017 Соболь Б.В., Рашидова Е.В. 2017 Соболь Б.В., Рашидова Е.В. Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.

The research of stress concentration in the neighborhood of internal crack's tops, which is on a bisector of an infinite elastic wedge, is conducted. The normal efforts are applied to crack's coast for providing her opening. Wedge's sides are supported with a thin flexible coating, free from tension from outer side. Coating influence on an intense and deformable state of a wedge is modelled by a special boundary condition which correctness is confirmed experimentally. Mellin’s integral transformation has allowed to reduce the task to the solution of the singular integrated equation of the first kind with Cauchy's kernel of rather derivative function of crack opening. Solutions of the integral equation constructed by the collocation method. With various combinations of geometric and physical parameters of the problem. The aim of the research was to determine the values of the influence factor - a reduced stress intensity factor in the neighborhood of the crack's tops. Analysis of influences of task's geometrical and physical parameters on size of the studied parameter is carried. In particular, it is established that with increasing the wedge's angle, with unchanged other parameters, the values of the influence factor are increasing; the increasing in the thickness and hardness of the coating leads to a decrease of the influence factor; the increase of the relative crack's length or approaching to wedge's top implies an increase of influence factor. The known special cases of task are considered, their results are compared with available data published.

Проведено исследование концентрации напряжений в окрестности вершин внутренней трещины, находящейся на биссектрисе бесконечного упругого клина в условиях плоской деформации. К берегам трещины приложены нормальные усилия. Грани клина подкреплены тонким гибким покрытием, с внешней стороны свободным от напряжений. Влияние покрытия на напряженно-деформируемое состояние клина моделируется специальным граничным условием, корректность которого подтверждена экспериментально. Интегральное преобразование Меллина позволило свести задачу к решению сингулярного интегрального уравнения первого рода с ядром Коши относительно производной функции раскрытия трещины. При различных сочетаниях геометрических и физических параметров задачи построены решения интегрального уравнения методом коллокации.

 трещина бесконечный упругий клин тонкое покрытие интегральное преобразование Меллина метод коллокации коэффициент интенсивности напряжений фактор влияния crack infinite elastic wedge thin coating Mellin’s integral transformation collocation method stress intensity factor influence factor Melan E. Zur plastizität des räumlichen kontinuums // Archive J. Appl. Mech., 1938. No. 9/2. P. 116-126. Рейсснер Э. Некоторые проблемы теории оболочек. Упругие оболочки. М.: Изд-во иностр. лит., 1962. 263 с. . Moscow, Inostr. lit. Publ., 1962, 263 p. (In Russian)] Koiter W., Warner T. On the nonlinear theory of thin elastic shells // Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen, 1966. Vol. 69, No. 1. P. 1-54. Развитие теории контактных задач в СССР / Под ред. Л.А. Галина. М.: Наука, 1976. 493 c. . Moscow, Nauka Publ., 1976, 493 p. (In Russian)] Александров В.М., Мхитарян С.М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками. М.: Наука, 1979. 486 с. . Moscow, Nauka Publ., 1976, 493 p. (In Russian)] Акопян В.Н. Об одной смешанной задаче для составной плоскости, ослабленной трещиной // Изв. НАН Армении, механика. 1995. Т. 48, № 4. С. 57-65. . Izv. NAN Armenii, Mehanika , 1995, vol. 48, no. 4, pp. 57-65. (In Russian)] Арутюнян Л.А. Плоские задачи со смешанными краевыми условиями для составной плоскости с трещинами // Изв. НАН Армении. Механика, 2012. Т. 65, № 3. С. 5-9. . Izv. NAN Armenii, Mekhanika , 2012, vol. 65, no. 3, pp. 5-9. (In Russian)] Rizk A. Stress intensity factor for an edge crack in two bonded dissimilar materials under convective cooling // Theoretical and Appl. Fracture Mech. 2008. Vol. 49. No. 3. P. 251-267. doi: 10.1016/j.tafmec.2008.02.006 Шацкий И.П. Растяжение пластины, содержащей прямолинейный разрез с шарнирно соединенными кромками // Прикладная механика и техническая физика, 1989. № 5. С. 163-165. . Prikl. mehanika i tehnicheskaja fizika , 1989, no. 5, pp. 163-165. (In Russian)] Antipov Y., Bardzokas D., Exadaktylos G. Partially stiffened elastic half-plane with an edge crack // International Journal of Fracture. 1997. Vol. 85. No. 3. P. 241-263. doi: 10.1023/A:1007428813410 Cook T.S., Erdogan F. Stress in bounded material with a crack perpendicular to the interface // Int. J. Engng Sci. 1972. Vol. 10. No. 8. Р. 677-697. doi: 10.1016/0020-7225(72)90063-8 Панасюк В.В., Саврук М.П., Дацышин А.П. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках. Киев: Наукова Думка, 1976. 443 c. . Kiev, Naukova Dumka Publ., 1976, 443 p. (In Russian)] Греков М.А., Даль Ю.М., Курочкин В.А. Предельное состояние упругой полосы с внутренней трещиной // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1992. № 6. С. 148-155. . Izv. Ross. Akad. Nauk, Mekh. Tverd. Tela , 1992, no. 6, pp. 148-155. (In Russian)] Краснощеков А.А., Соболь Б.В. Равновесное состояние внутренней поперечной трещины в полубесконечном упругом теле с тонким покрытием // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2016. № 1. С. 136-150. . Izv. Ross. Akad. Nauk, Mekh. Tverd. Tela , 2016, no. 1, pp. 136-150. (In Russian)] Справочник по коэффициентам интенсивности напряжений: В 2-х томах, Т. 1: Пер. с англ. / Под ред. Ю. Мураками. М.: Мир, 1990. 448 с. , Moscow, Mir Publ., 1990, vol. 1, 448 p. (In Russian)] Wigglesworth L.A. Stress distribution in a notched plate // Mathematika. 1957. Vol. 4. No. 7. P. 76-96. doi: 10.1112/ S002557930000111X Irwin G.R. The crack-extension force for a crack at a free surface boundary // Report № 5120, Naval Research Lab., 1958. Bowie O.L. Rectangular tensile sheet with symmetric edge cracks // Trans. ASME. Ser. E. J. Appl. Mech. 1964. Vol. 31. No. 2. P. 208-212. doi: 10.1115/1.3629588 Bowie O.L., Neal D.M. Single edge cracks in rectangular tensile sheet // Trans. ASME. Ser. E. J. Appl. Mech. 1965. Vol. 32. No. 3. P. 708-709. doi: 10.1115/1.3627290 Srivastav R.P., Narain Prem. Certain two-dimensional problems of stress distributions in wedge-shaped elastic solids under discontinuous load // Proc. Cambridge Phil. Soc. 1965. Vol. 61. No. 4. P. 945-954. doi: 10.1017/S0305004100039347 Srawley J.E., Gross B. Stress intensity factors for crackline-loaded edge-crack specimens // Mater. Res. and Stand. 1967. Vol. 7. No. 4. P. 155-162. Сметанин Б.И. Некоторые задачи о щелях в упругом клине и слое // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1968. № 2. С. 115-122. , Izv. Akad. Nauk SSSR, Mekh. Tverd. Tela , 1968, no. 2, pp. 115-122. (In Russian)] Сметанин Б.И. Об одной смешанной задаче теории упругости для клина // Прикладная математика и механика. 1968. Т. 32. Вып. 4. С. 708-714. Prikl. Mat. Mekh. , 1968, vol. 32, no 4, pp. 708-714. (In Russian)] Tamate О., Kondo Т. Stress singularities around a crack in an elastic wedge // Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. 1978. Vol. 44. No. 379. P. 756-761. doi: 10.1299/kikai1938.44.756 Александров В.М., Сметанин Б.И., Соболь Б.В. Тонкие концентраторы напряжений в упругих телах. М.: Физматлит, 1993. 224 c. . Moscow, FIZMATLIT Publ., 1993, 224 p. (In Russian)] Банцури Р.Д. Решение первой основной задачи теории упругости для клина, имеющего конечный разрез // Докл. АН СССР. 1966. Т. 167. № 6. С. 1256-1259. . Dokl. AN SSSR , 1966, vol. 167, no. 6, pp. 1256-1259.] Doran H.E. The wedge with a symmetric crack at the vertex in plane elastostatics // IMA J. Appl. Math. 1969. Vol. 5. No. 4. P. 363-372. doi: 10.1093/imamat/5.4.363 Храпков А.А. Бесконечный треугольный клин с надрезом на биссектрисе под действием сосредоточенных сил, приложенных к берегам надреза // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1972. №5. С. 88-97. , 1972, no. 5, pp. 88-97. (In Russian)] Quchterlony F. Symmetric cracking of a wedge by concentrated load // Int. J. Engng Sci. 1977. Vol. 15. No. 2. P. 109-116. doi: 10.1016/0020-7225(77)90026-X Quchterlony F. Some stress intensity factors for self-similar cracks, derived from path-independent integrals // J. Elast. 1978. Vol. 8, No. 3. P. 259-271. doi: 10.1007/BF00130465 Gregory R.D. The edge-cracked circular disc under symmetric pin-loading // Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 1979. Vol. 85. No. 3. P. 523-538. doi: 10.1017/S030500410005595X Stone S.F., Westmann R.A. Stress intensity factors for cracked wedges // Int. J. Solids and Struct. 1981. Vol. 17. No. 3. P. 345-358. doi: 10.1016/0020-7683(81)90068-8 Садыхов А.Э. Клин с трещиной. Баку: Азерб. гос. пед. ин-т, 1979. 32 с. Деп. в ВИНИТИ 28.03.79. №1091. . Azerb. Gos. Ped. Inst., Baku Dep. VINITI AN SSSR 28.03.79 , 1979, no. 1091, 32 p. (in Russian).] Кипнис Л.А. Упругое равновесие клина с трещиной // Прикладная математика и механика. 1979. Т. 43, Вып. 1. С. 153-159. . Prikl. Mat. Mekh. , 1979, vol. 43, no. 1, pp. 153-159. (In Russian)] Садыхов А.Э. Об одной задаче теории упругости для клина с полубесконечной трещиной под действием сосредоточенного момента // Прикладная механика. 1980. Т. 16. № 5. С. 91-96. . Prikl. Mekh. , 1980, vol. 16, no. 5, pp. 91-96. (In Russian)] Саврук М.П. Механика разрушения и прочность материалов. Т. 2: Коэффициенты интенсивности напряжений в телах с трещинами / Под ред. В.В. Панасюка. Киев: Наук. думка, 1988. 619 с. . Kiev, Naukova Dumka Publ., 1988, 619 p. (In Russian)] Некислых Е.М., Острик В.И. Задача об упругом равновесии клина с трещинами на оси симметрии // Изв. РАН, механика твердого тела. 2010. № 5. С. 111-129. . Izv. Ross. Akad. Nauk. Mekh. Tverd. Tela , 2010, no. 5, pp. 111-129. (In Russian)] Пожарский Д.А., Молчанов А.А. Асимптотические решения смешанных задач для упругой полосы и клина // Вестник ДГТУ. 2010. Т. 10. № 4(47). С. 447-454. . Vestnik DGTU , 2010, vol. 10, no. 4(47), pp. 447-454. (In Russian)] Elliotis M.C., Charmpis D.C., Georgiou G.C. The singular function boundary integral method for an elastic plane stress wedge beam problem with a point boundary singularity // J. Appl. Math. and Computation. 2014. Vol. 248. P. 93-100. doi: 10.1016/j.amc.2014.09.090 Лурье А. И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 940 с. . Moscow, Nauka Publ., 1970, 940 p. (In Russian)] Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1963. 1100 с. . Moscow, Fizmatgiz, 1963, 1100 p. (In Russian)] Irwin G.R. Analysis of stresses and strains near the end of a crack traversing a plate // J. Appl. Mech. 1957. Vol. 24. No. 3. P. 361-364.