A hierarchical system of point models of water softening has been developed. The hierarchy of models has a linear ordering, each next one is built on the basis of the previous one, by including new equations reflecting the appearance of new substances, ions, and consequently new phenomena. The number of roots of the system of equations increases. Numerical methods for finding the roots of non-linear equations with the use of modified Newton methods with a choice of a step, a regularization parameter, and an extension method for systems of nonlinear equations are proposed.

Разработана иерархическая система точечных моделей умягчения воды. Иерархия моделей имеет линейную упорядоченность, каждая следующая, строится на основе предыдущей путём включения дополнительных уравнений. Количество корней системы уравнений увеличивается. Предложены численные методы отыскания корней нелинейных уравнений с использованием модифицированных методов Ньютона с выбором шага, параметра регуляризации и метода продолжения для систем нелинейных уравнений. Система может иметь переменную размерность, и решение ее осложняется наличием ложных отрицательных корней. Метод Ньютона адаптирован для отыскания возникающих трудностей решения систем уравнений. Выбраны оптимальные параметры итерационного шага и коэффициента регуляризации. Использован метод продолжения по параметрам: в коротких каналах выбрана плотность протекающего тока, в длинных — переменная расстояния по длине канала.