The laws of factorization of irreducible polynomials with integer coefficients over finite fields, a long-standing problem of number theory and algebra. The various reciprocity laws of number theory are connected with this problem. The Galois group of an irreducible polynomial $f(x)$ of degree n over the field of rational numbers, consider as a subgroup of the symmetric group $S_{n}$, actually describes possible types of factorization of $f(x)$ with respect to simple modules. The next problem is to describe prime numbers giving a certain type of factorization of the polynomial $f(x)$ in terms of invariants associated with this polynomial. For polynomials with Abelian Galois group this problem is solved in principle by a dap class field theory. For polynomials with a non-Abelian Galois group, little is known for certain classes of polynomials. In this paper we propose a method for solving this problem for irreducible over the field rational numbers of cubic polynomials.

Законы факторизации неприводимых полиномов с целыми коэффициентами над конечными полями - давняя задача теории чисел и алгебры. Различные законы взаимности теории чисел в той или иной степени связаны с этой задачей. Группа Галуа неприводимого полинома $f(x)$ степени $n$ над полем рациональных чисел, рассматриваемая как подгруппа симметрической группы $S_{n}$, фактически описывает возможные типы факторизаций полинома $f(x)$ по простым модулям, а теоремы плотности Фробениуса и Чеботарева указывают возможную частоту тех или иных типов факторизаций по простым модулям. Следующая задача состоит в описании простых чисел, дающих определенный тип факторизации полинома $f(x)$ в терминах инвариантов, связанных с этим полиномом. Для полиномов с абелевой группой Галуа эту задачу в принципе решает глубокая теория полей классов. Для полиномов с не абелевой группой Галуа имеются лишь результаты для полиномов определенных семейств. В этой статье предлагается метод для решения этой задачи над полем рациональным чисел для кубических полиномов.