vestnik Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества Ecological Bulletin of Research Centers of the Black Sea Economic Cooperation 1729-5459 Кубанский государственный университет RU 871 10.31429/vestnik-16-3-6-15 Научная статья Original article Математика Mathematics Разработка математических моделей систем защиты информации на основе многостепенных систем диофантовых уравнений Development of mathematical models of systems of protection data on the basis of the multistage systems of diophantine equations Осипян В.О. Осипян Валерий Осипович Osipyan Valery O. v.osippyan@gmail.com

д-р физ.-мат. наук, доцент, профессор кафедры информационных технологий Кубанского государственного университета

 Литвинов К.И. Литвинов Кирилл Игоревич Litvinov Kirill I. lyrik-1994@yandex.ru

аспирант кафедры информационных технологий Кубанского государственного университета

 Жук А.С. Жук Арсений Сергеевич Zhuk Arseny S. arseniyzhuck@mail.ru

старший преподаватель кафедры вычислительных технологий Кубанского государственного университета

 Кубанский государственный университет, КраснодарKuban State University, Krasnodar 30 09 2019 16 3 6 15 22 08 2019 03 09 2019 30 09 2019 Copyright (c) 2019 Осипян В.О., Литвинов К.И., Жук А.С. 2019 Осипян В.О., Литвинов К.И., Жук А.С. Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.

The objective necessity of improvement of information security systems (SPI) in the conditions of development of information and telecommunication technologies is shown. Theorems which allow to describe the properties of parametric solutions of multistage systems of Diophantine equations necessary for the development of mathematical models of SPI on their basis are given. The theorem generalizing the known Frolov's theorem is presented, and the author's theorem on the basis of which the mathematical model of SPI containing Diophantine difficulties is developed is given.

A new approach to the development of SPI generalizing the principle of construction of public key cryptosystems is proposed. One part of the conditional identity is used for the direct transformation of the original message, and the other part - for the inverse transformation. A new concept of equivalence of ordered sets of numbers or parameters with a given dimension and degree is introduced.

Mathematical models of cryptosystems developed on the basis of two-parameter solutions of multistage systems of Diophantine equations, in particular, - equations of the fifth degree with the number of variables equal to twelve are presented. The described mathematical models demonstrate the potential of using Diophantine equations for the development of SPI with a high degree of reliability. These models allow to build asymmetric GIS, and the system public key. Such systems contain Diophantine difficulties admitting the existence of a countable set of equally probable keys.

Предложен новый подход разработки биграммной СЗИ на основе параметрических решений, обобщающий принцип построения криптосистем с открытым ключом: одна часть условного тождества применяется для прямого преобразования исходного сообщения с заданной гаммой, а другая часть - для обратного преобразования. Вводится новое понятие равносильности упорядоченных наборов чисел или параметров с заданной размерности и степени. Представлены примеры математических моделей биграммных криптосистем с наложенной гаммой, построенные на основе двупараметрических решений многостепенных систем диофантовых уравнений пятой степени с количеством переменных равным двенадцати, в частности, математические модели дисимметричной и асимметричной криптосистем.

 информационные технологии система защиты информации шифрование информации симметричная криптосистема дисимметричная криптосистема криптосистема с открытым ключом многостепенная система диофантовых уравнений диофантовы трудности диофантово множество диофантово представление information technologies information security system information encryption symmetric cryptosystem public key cryptosystem multi-level system of Diophantine equations Diophantine difficulties Diophantine set Diophantine representation Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ (проект 19-01-00596). Shannon C. Communication theory of secrecy systems // Bell System Techn. J. 1949. Vol. 28. Iss. 4. P. 656–715. DOI: 10.1002/j.1538-7305.1949.tb00928.x Alpers A., Tijdeman R. The two-dimensional Prouhet–Tarry–Escott problem // J. of Number Theory. 2007. Vol. 123. Iss. 2. P. 403–412. DOI: 10.1016/j.jnt.2006.07.001. Матиясевич Ю.В. Десятая проблема Гильберта. М.: Издательская фирма "Физико-математическая литература", ВО Наука, 1993. 224 с. . Fiziko-matematicheskaya literatura, Moscow, 1993. (In Russian)] Осипян В.О. Моделирование систем защиты информации содержащих диофантовы трудности. Разработка методов решений многостепенных систем диофантовых уравнений. Разработка нестандартных рюкзачных криптосистем. LAMBERT Academic Publishing. 2012. 344 с. . LAMBERT Academic Publishing, Moscow, 2012. (In Russian)] Осипян В.О. Математическое моделирование систем защиты данных на основе диофантовых уравнений // Прикаспийский журнал: управление и высокие технологии. 2018. № 1. С. 151–160. . Prikaspiyskiy zhurnal: upravlenie i vysokie tekhnologii , 2018, no. 1, pp. 151–160. (In Russian)] Осипян В.О., Григорян Э.С. Метод параметризации диофантовых уравнений и математическое моделирование систем защиты данных на их основе // Прикаспийский журнал. 2019. № 1. С. 164–172. . Prikaspiyskiy zhurnal , 2019, no. 1, pp. 164–172. (In Russian)] Осипян В.О., Спирина С.Г., Арутюнян А.С., Подколзин В.В. Моделирование ранцевых криптосистем, содержащих диофантовую трудность // Чебышевский сборник. 2010. Т. 11. № 1. С. 209–216. . Chebyshevskiy sbornik , 2010, vol. 11, no. 1, pp. 209–216. (In Russian)] Cassels J.W.S. On a Diophantine Equation // Acta Arithmetica. 1960. Vol. 6. Iss. 1. P. 47–52. DOI: 10.4064/aa-6-1-47-52 Carmichael R.D. The Theory of Numbers and Diophantine Analysis. New York, 1959. 118 p. Chernick J. Ideal solutions of the Tarry-Escott problem // The American Mathematical Monthly. 1937. Vol. 44. Iss. 10. P. 626–633. DOI: 10.2307/2301481 Dickson L.E. History of the Theory of Numbers. New York, 1971. Dorwart H.L., Brown O.E. The Tarry-Escott problem // Amer. Math. Monthly. 1937. Vol. 44. Iss. 10. P. 613–626. DOI: 10.2307/2301480 Gloden A. Mehgradige Gleichungen // Groningen. 1944. pp. 104. Алферов А.П., Зубов А.Ю., Кузьмин А.С., Черемушкин А.В. Основы криптографии. М.: Гелиос АРВ, 2002. 480 с. . Gelios ARV, Moscow, 2002. (In Russian)] Саломаа А. Криптография с открытым ключом. М.: Мир, 1995. 318 с. . Mir, Moscow, 1995. (In Russian)] Шнайер Б. Прикладная криптография: Протоколы, алгоритмы, исходные тексты на языке Си. М.: Триумф, 2002. 816 с. . Triumf, Moscow, 2002. (In Russian)] Koblitz N. A Course in Number Theory and Cryptography. New York: Springer-Verlag, 1987. 235 p.