vestnik Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества Ecological Bulletin of Research Centers of the Black Sea Economic Cooperation 1729-5459 Кубанский государственный университет RU 878 10.31429/vestnik-16-3-54-62 Научная статья Original article Механика Mechanics Модель распространения загрязняющих веществ в многослойной среде с периодическим источником излучения Model of distribution of pollutant substances in a multilayered medium with a periodic radiation source Сыромятников П.В. Сыромятников Павел Викторович Syromyatnikov Pavel V. syromyatnikov_pv@mail.ru

д-р физ.-мат. наук, ведущий научный сотрудник лаборатории математики и механики краснодарского отделения Южного научного центра РАН, доцент кафедры математического моделирования Кубанского государственного университета

 Кривошеева М.А. Кривошеева Маргарита Александровна Krivosheeva Margarita A. margarita.krivoscheeva@gmail.com

магистрант второго года обучения кафедры математического моделирования Кубанского государственного университета

 Нестеренко А.Г. Нестеренко Александр Григорьевич Nesterenko Aleksandr G. agnest@mail.ru

канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры физики информационных систем Кубанского государственного университета

 Лапина О.Н. Лапина Ольга Николаевна Lapina Olga N. olga_ln@mail.ru

канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры вычислительных технологий Кубанского государственного университета

 Кубанский государственный университет, КраснодарKuban State University, Krasnodar 30 09 2019 16 3 54 62 22 09 2019 30 09 2019 30 09 2019 Copyright (c) 2019 Сыромятников П.В., Кривошеева М.А., Нестеренко А.Г., Лапина О.Н. 2019 Сыромятников П.В., Кривошеева М.А., Нестеренко А.Г., Лапина О.Н. Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.

Based on the equations of turbulent diffusion for convection-diffusion-decay processes, an algorithm has been developed for calculating the distribution of pollutants in a diffusion medium that are emitted by a time-periodic radiation source. The medium is a multilayer packet of layers with plane-parallel interfaces, the radiation source can be located either at the boundaries of the packet of layers or inside it. The solution is constructed in Fourier images using the symbols of the Green functions of boundary value problems for periodic sources. The inverse two-dimensional Fourier transform is calculated numerically. It is shown in the paper that the boundary value problem for a periodic source can be reduced to solving a slightly modified boundary value problem for stationary equations of turbulent diffusion. Methods for solving a stationary boundary value problem are developed in detail in previous works of the authors. It is noted that for a periodic source, in comparison with a stationary source, the computational volumes grow in proportion to the number of harmonics in the Fourier expansion of the periodic component of the source. An example of a numerical solution of the spatial boundary-value problem for a two-layer packet with an internal periodic radiation source is given. The example takes into account nine members of the Fourier series in the source statement. The developed numerical-analytical model has high accuracy and flexibility and can be used to simulate various periodic diffusion-convection-reaction processes, and to obtain various estimates in the field of ecology and environmental protection. The proposed method is effective for solving boundary value problems for semi-bounded multilayer media for which the traditionally used finite element and finite difference methods are not applicable.

На основе уравнений турбулентной диффузии для периодического по времени источника  разработан алгоритм расчета распространения загрязняющих веществ в многослойной среде.  Источник излучения может быть внутренним или граничным. Решение строится с помощью символов Фурье функций Грина краевых задач для периодических источников.  Расчет обратного преобразования Фурье производится численно. Показано, что алгоритм построения символов функции Грина для периодической краевой задачи незначительно отличается от соответствующей стационарной краевой задачи.  Однако объемы вычислений вырастают пропорционально числу гармоник, которые учитываются в разложении в ряд Фурье периодического источника. Приведен пример численного решения пространственной краевой задачи для двухслойного пакета с внутренним периодическим источником излучения. Предложенный метод эффективен для полуограниченных сред, для которых методы конечного элемента и конечных разностей  неприменимы.

 турбулентная диффузия периодический источник излучения многослойная среда преобразование Фурье функция Грина численное интегрирование turbulent diffusion multilayered medium periodic radiation source Green's function Fourier transform numerical integration This work was carried out as part of the implementation of the State Project of the UNC RAS for 2019 (No. 01201354241) with partial support from a grant from the Russian Foundation for Basic Research and Administration of the Krasnodar Territory (project 19-41-230011 r_a). Госзадание ЮНЦ РАН на 2019 г. (№ г.р. 01201354241),проект РФФИ и администрации Краснодарского края 19-41-230011 р_а Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач конвекции-диффузии. М.: Книжный дом. Либроком, 2015. 248 с. . Knizhnyy dom "Librokom", Moscow, 2015. (In Russian)] Hundsdorfer W.H., Verwer J.G. Numerical solution of time-dependent advection-diffusion-reaction equations. Springer, Berlin, 2003. 472 p. Mickens R.E. (ed.) Advances in the applications of nonstandard finite difference schemes. World Scientific Publishing Co Pte Ltd, New Jersey, 2005. 665 p. Тимонин А.С. Инженерно-экологический справочник. В 3-х томах. Калуга: Изд-во Н. Бочкаревой, 2003. 2825 с. . Publishing House N. Bochkareva, Kaluga, 2003. (In Russian)] Сыромятников П.В. Матричный метод построения символа функции Грина для стационарных задач турбулентной диффузии в многослойных средах // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2018. Т. 15. № 3. C. 62–71. DOI: 10.31429/vestnik-15-3-62-71. . Ekologicheskiy vestnik nauchnykh tsentrov Chernomorskogo ekonomicheskogo sotrudnichestva , 2018, vol. 15. no, 3, pp. 62—1. DOI: 10.31429/vestnik-15-3-62-71 (In Russian)] Сыромятников П.В. Матричный метод решения нестационарных задач конвекции — диффузии в полуограниченных многослойных и градиентных средах // Наука Юга России. 2018. Т. 14. № 4. С. 3–13. DOI: 10.7868/S25000640180401. . Nauka Yuga Rossii , 2018, vol. 14. no 4, pp. 3—. DOI: 10.7868/S25000640180401 (In Russian)] Бартеньев О.В. Фортран для профессионалов. Математическая библиотека IMSL. Вып. 3. М.: Диалог-МИФИ. 2001. 364 с. . Iss. 3. Dialog-MEPhI, Moscow, 2001. (In Russian)]