vestnik Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества Ecological Bulletin of Research Centers of the Black Sea Economic Cooperation 1729-5459 Кубанский государственный университет RU 888 10.31429/vestnik-17-1-1-17-22 Научная статья Original article Механика Mechanics Об одной граничной задаче в клиновидной области On a boundary value problem in a wedge-shaped domain Бабешко В.А. Бабешко Владимир Андреевич Babeshko Vladimir A. babeshko41@mail.ru

академик РАН, д-р физ.-мат. наук, заведующий кафедрой математического моделирования Кубанского государственного университета, директор Научно-исследовательского центра прогнозирования и предупреждения геоэкологических и техногенных катастроф Кубанского государственного университета, заведующий лабораторией Южного федерального университета

 Евдокимова О.В. Евдокимова Ольга Владимировна Evdokimova Olga V. evdokimova.olga@mail.ru

д-р физ.-мат. наук, главный научный сотрудник Южного научного центра РАН

 Бабешко О.М. Бабешко Ольга Мефодиевна Babeshko Olga M. babeshko49@mail.ru

д-р физ.-мат. наук, главный научный сотрудник научно-исследовательского центра прогнозирования и предупреждения геоэкологических и техногенных катастроф Кубанского государственного университета

 Кубанский государственный университет, КраснодарKuban State University, Krasnodar Южный научный центр РАН, Ростов-на-ДонуSouthern Scientific Center, Russian Academy of Science, Rostov-on-Don 31 03 2020 17 1 17 22 24 02 2020 06 03 2020 31 03 2020 Copyright (c) 2020 Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. 2020 Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.

The boundary value problem for the three-dimensional Helmholtz equation is considered in an area that represents a rectangular wedge of infinite length.

The block element method is used for the first time to construct an exact solution of this boundary value problem in the form of a Packed block element, which is necessary for the study of more complex, including mixed problems for block structures. Representations of solutions to boundary problems in the form of Packed block elements make it possible to study and solve boundary problems of almost any complexity and in any areas. This is due to the fact that an arbitrary area can always be represented in real or virtual form as a block structure, blocks of which can be formed from the condition of convenience of solving specified boundary problems on them. In this paper, we consider a three-dimensional Dirichlet boundary value problem for the Helmholtz equation, for which the block element method is used to construct solutions for arbitrary boundary conditions in a wedge-shaped region in the form of Packed and unpacked block elements. There are no such solutions in publications, they exist only for special cases. The block element method solves it quite simply and can be used for more complex tasks.

Рассматривается граничная задача для трехмерного уравнения Гельмгольца в области, представляющей прямоугольный клин бесконечной протяженности. Методом блочного элемента строится в виде упакованного блочного элемента точное решение этой граничной задачи, необходимое для исследования более сложных, в том числе, смешанных задач для блочных структур.

 метод блочного элемента граничная задача автоморфизм псевдодифференциальные уравнения клинообразная область block element method boundary value problem automorphism pseudo differential equation wedge-shaped area Отдельные фрагменты работы выполнены в рамках реализации Госзадания Минобрнауки на 2019~г. (проекты 9.8753.2017/8.9), ЮНЦ РАН на 2019 г. (проекта 00-18-04) № госрег. 01201354241, программ президиума РАН I-16 (проект 00-18-21) и I-52 (проект 00-18-29), и при поддержке грантов РФФИ (проекты 19-41-230003, 19-41-230004, 19-48-230014, 17-08-00323, 18-08-00465, 18-01-00384, 18-05-80008). Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М. Наука, 1973. 502 с. . Nauka, Moscow, 1973. (In Russian)] Бабич В.М. О коротковолновой асимптотике функции Грина для уравнения Гельмгольца // Математический сборник. 1964. Т. 65. С. 577–630. . Matematicheskiy sbornik , 1964, vol. 65, pp. 577–630. (In Russian)] Бабич В.М., Булдырев В.С. Асимптотические методы в проблеме дифракции коротких волн. М.: Наука, 1972. 256 с. . Nauka, Moscow, 1972. (In Russian)] Cerveny v., Molotkov I.A., Psencik I. Rey Method in seismology. Praha, Univerzita Karlova, 1977. 216 p. Мухина И.В. Приближенное сведение к уравнениям Гельмгольца уравнений теории упругости и электродинамики для неоднородных сред // ПММ. 1972. Т. 36. P. 667–671. . Prikladnaya matematika i mekhanika , 1972, vol. 36, pp. 667–671. (In Russian)] Молотков Л.А. Исследование распространения волн в пористых и трещиноватых средах на основе эффективных моделей Био и слоистых сред. Санкт-Петербург. Наука, 2001. 348 с. . Nauka, Saint petersburg, 2001. (In Russian)] Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с. . Mir, Moscow, 1975. (In Russian)] Новацкий В. Динамические задачи термоупругости М.: Мир, 1970, 256 с. . Mir, Moscow, 1970. (In Russian)] Новацкий В. Электромагнитные эффекты в твердых телах. М.: Мир, 1986. 160 с. . Mir, Moscow, 1986. (In Russian)] Беркович В.Н. К теории смешанных задач динамики клиновидных композитов // ДАН. 1990. Т. 314. № 1. С. 172–175. . Doklady Akademii nauk , 1990, vol. 314, no. 1, pp. 172–175. (In Russian)] Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. К проблеме акустических и гидродинамических свойств среды, занимающей область трехмерного прямоугольного клина // Прикладная механика и техническая физика. 2019. Т. 60. № 6. С. 90–96. DOI: 10.15372/PMTF20190610 . Prikladnaya mekhanika i tekhnicheskaya fizika , 2019, vol. 60, no. 6, pp. 90–96. DOI: 10.15372/PMTF20190610 (In Russian)] Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М., Рядчиков И.В. Метод проектирования неоднородных материалов и блочных конструкций // ДАН. 2018. Т. 482. № 4. С. 398–402. DOI: 10.1134/S1028335818100014 . Doklady Akademii nauk , 2018, vol. 482, no. 4, pp. 398–402. DOI: 10.1134/S1028335818100014 (In Russian)] Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В. О проблеме блочных структур академика М.,А. Садовского // ДАН. 2009. Т. 427. № 4. С. 480–485. . Doklady Akademii nauk , 2009, vol. 427, no. 4, pp. 480–485. (In Russian)] Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. О стадиях преобразования блочных элементов // ДАН. 2016. Т. 468. № 2. С. 154–158. . Doklady Akademii nauk , 2016, vol. 468, no. 2, pp. 154–158. (In Russian)] Федорюк М.В. Метод перевала. М.: Наука, 1977. 368 с. . Nauka, Moscow, 1977. (In Russian)]