vestnik Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества Ecological Bulletin of Research Centers of the Black Sea Economic Cooperation 1729-5459 Кубанский государственный университет RU 904 10.31429/vestnik-17-1-2-69-80 Научная статья Original article Физика Physics Вычислительный метод поиска особых точек на плоскости комплексного времени для исследования детерминировано-хаотических систем (на примере системы Э. Лоренца) Computational Method for Searching Singular Points on the Plane of Complex Time for Research of Determinated-Chaotic Systems (Using the Example of E. Lorenz System) Бунякин А.В. Бунякин Алексей Вадимович Bunyakin Aleksey V. alex.bunyakin@mail.ru

канд. физ.–мат. наук, доцент кафедр математических и компьютерных методов Кубанского государственного университета, оборудования нефтяных и газовых промыслов Кубанского государственного технологического университета, кафедры нефтегазового дела и землеустройства Майкопского государственного технологического университета

 Пшикова И.С. Пшикова Ирина Сергеевна Pshikova Irina S. ira.pshikova.98@gmail.com

студентка факультета математики и компьютерных наук Кубанского государственного университета, старший лаборант кафедры математических и компьютерных методов Кубанского государственного университета

 Кубанский государственный университет, КраснодарKuban State University, Krasnodar 31 03 2020 17 1 69 80 24 01 2020 09 02 2020 31 03 2020 Copyright (c) 2020 Бунякин А.В., Пшикова И.С. 2020 Бунякин А.В., Пшикова И.С. Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.

The general scheme of search and recognition (identification) of singular points of the solution of dynamic systems is present. Under singular points we understand not a features of the phase flow, but the poles of the functions of the solution components for analytical continuation into the plane of complex time. Pole orders may be different for different components. As examples for calculation, precisely known system exhibiting deterministic chaotic behavior – E. Lorentz system, and also indicates a general scheme for matching of the differential dynamic system solution with the special integer sequence (quantization).The introduction describes a method for searching for singular points on the plane of complex time, which is a specific variant of numerical integration with the optimal choice of the direction of the next step. Optimization is the minimization of the number of steps, that is, ultimately – the computational time. The second part of the paper describes an algorithm for searching for singular points of the layer closest to the real time axis, and this algorithm is numerically implemented for the Lorentz system. The third (final) part of the paper describes a possible application of the method for constructing quantum-mechanical models of multielectronic systems.

Показана общая схема поиска и распознавания (идентификации) особых точек решения динамических систем. Под особыми точками понимаются не особенности фазового потока, а полюсы функций компонент решения при аналитическом продолжении их в плоскость комплексного времени. Порядки полюсов могут быть разными для различных компонент. В качестве примеров для расчета выбрана достаточно известная система, проявляющая детерминировано – хаотическое поведение – система Э. Лоренца, а также указана общая схема сопоставления решению дифференциальной динамической системы специальной целочисленной последовательности (квантования).

 динамические системы детерминированный хаос аналитическое продолжение dynamical systems deterministic chaos analytic continuation Lorenz E.N. Deterministic non–periodic flow // J. Atmos. Sci. 1963. Vol. 20. P. 130–141. Бунякин А.В. Особые точки решения семимерной системы турбулентности // Журн. выч. мат. и матем. физ. 1993. № 6. С. 968–973. . Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki , 1993, no. 6, pp. 968–973. (In Russian)] Бунякин А.В. Особые точки динамических систем // Журн. выч. мат. и матем. физ. 1995. № 3. С. 477–478. . Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki , 1995, no. 3, pp. 477–478. (In Russian)] Кондратеня С.Г., Яблонский А.И. Подвижные особые точки систем дифференциальных уравнений // Диф. уравн. 1968. Т. 4. № 6. С. 983–990. . Differentsial'nye uravneniya , 1968, vol. 4, no. 6, pp. 983–990. (In Russian)] Пушкевич Г.Е., Яблонский А.И. О подвижных особых точках системы дифференциальных уравнений, описывающих модели генетики // Диф. уравн. 1991. Т. 27. № 8. С. 1453–1456. . Differentsial'nye uravneniya , 1991, vol. 27, no. 8, pp. 1453–1456. (In Russian)] Климаншевская И.Н., Кондратеня С.Г. Простейшие классы автономных систем, не имеющих решений с подвижными неалгебраическими особыми точками // Диф. уравн. 1991. Т. 27. № 3. С. 335–353. . Differentsial'nye uravneniya , 1991, vol. 27, no. 3, pp. 335–353. (In Russian)] Qin Yuanxun, Zhao Huaizong Theory of singular points of ordinary differential equations in complex domain // Acta math. Appl. Sin. Eng. Ser. 1992. Vol. 8. Iss. 4. P. 316–321. Grebogi C., Ott E., Yorke J.A. Are three–frequency quasi–periodic orbits to be expected in typical nonlinear systems // Phys. Rev. Lett. 1983(a). Vol. 51. P. 339–345. DOI: 10.1103/PhysRevLett.51.339 Grebogi C., Ott E., Yorke J.A. Crises, sudden changes in chaotic attractors and transients to chaos // Physica 7D. 1983(b). Vol. 7. P. 181–200. Poincare H. Les methodes nouvelles de la mechanique celeste. Gauthier–Villars, 1892. Paris (In English: N.A.S.A. Translation: TT F-450/452. U.S. Fed. Clearinghouse, Springfield, VA, USA). Flower A.C., McGuines M.J. A description of the Lorenz attractor at high Prandtl–number // Physika. 1982. Vol. D5. Iss. 2-3. P. 149–182. Зиновьев А.Т., Штерн В.Н. Структуры стохастических траекторий системы Лоренца // Числ. мет. мех. сплош. среды. 1983. Т. 14. № 1. С. 51–60. . Chislennye metody mekhaniki sploshnoy sredy , 1983, vol. 14, no. 1, pp. 51–60. (In Russian)] Feigenbaum M.J. Quantitative universality for a class of nonlinear transformations // J. Stat. Phys. 1978. Vol. 19. P. 25–52. Feigenbaum M.J. Universal behavior in nonlinear systems // Physica D: Nonlinear Phenomena. 1983. Vol. 7. Iss. 1-–3. P. 16–39. (Имеется перевод: Фейгенбаум М. Универсальность в поведении нелинейных систем // УФН. 1983. Т. 141. № 2. С. 343–374). Guckenheimer J., Worfolk P. Intant chaos // Nonlinearity. 1992. Vol. 5. Iss. 3. P. 1211–1222. Бунякин А.В. Особые точки решения системы дифференциальных уравнений Лоренца // Журн. выч. мат. и матем. физ. 1991. № 10. С. 1489–1497. . Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki , 1991, no. 10, pp. 1489–1497. (In Russian)] Eckmann J.P. Road to turbulence in dissipative dynamical systems // Rev. Mod. Phys. 1981. Vol. 53. P. 643–654. DOI: 10.1103/RevModPhys.53.643 Campbell D., Rose H. (eds.) Order in chaos // Proc. of the Int. Conf. in Los Alamos. Amsterdam, North Holland, 1983, 371 p. Golubb J.P., Benson S.V. Phase locking in the oscillations leading to turbulence, in H. Heken (ed.): Pattern formation and pattern recognition. Springer–Heidenberg, New York, 1979. Jansen M.N., Bak P., Bohr T. Complete Devil’s staircase, fractal dimension and universality of mode–locking structures // Phys. Rev. Lett. 1983(b). Vol. 50. P. 1637–1639. Libchaber A., Fauve S., Laroche C. Two–parameter study of routes to chaos // Physica D: Nonlinear Phenomena. 1983. Vol. 7. P. 73–84. Schuster H.G. Deterministic chaos. An introduction. XXIII. Weinheim, Physik-Verlag, 1984. 220 p. Hirsch M.W., Smale S., Devaney R.L. Differential equations, dynamical systems and an introduction to chaos. Elsevier, 2018. 432 p. Elhadj Z. Dynamical systems: Theory and Applications. CRC Press, 2019. 400 p. Argyris J.H., Faust G., Haase M., Friedrich R. An exploration of dynamical system and chaos. Springer, 2015. 345 p. Колмогоров А.Н. О сохранении условно периодических движений при малом изменении функции Гамильтона // ДАН СССР. 1954. Т. 98. № 4. С. 527–530. . Doklady Akademii nauk SSSR , 1954, vol. 98, no. 4, pp. 527–530. (In Russian)] Арнольд В.И. Малые знаменатели II. Доказательство теоремы А.Н. Колмогорова о сохранении условно периодических движений при малом изменении функции Гамильтона // Усп. мат. наук. 1963. Т. 18. С. 5–13. . Uspekhi matematicheskikh nauk , 1963, vol. 18, pp. 5–13. (In Russian)] Arnold V.I., Avez A. Ergodic problems in classical mechanics. Benjamin–New York, 1968. 286 p. Mozer J. Convergent series expansions of quasi-periodic motions // Math. Ann. 1967. Vol. 169. Iss. 1. P. 163–173.