vestnik Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества Ecological Bulletin of Research Centers of the Black Sea Economic Cooperation 1729-5459 Кубанский государственный университет RU 914 10.31429/vestnik-17-2-57-65 Научная статья Original article Механика Mechanics Нестационарные продольные колебания электромагнитоупругого стержня Non-stationary longitudinal vibrations of an electromagnetoelastic rod Фам Т.Д. Фам Тхонг Дык Pham Thong D. dtstudio.pro@gmail.com

аспирант кафедры «Сопротивление материалов, динамика и прочность машин» Московского авиационного института (национальный исследовательский университет)

 Тарлаковский Д.В. Тарлаковский Дмитрий Валентинович Tarlakovskii Dmitry V. tdvhome@mail.ru

д-р физ.-мат. наук, профессор, заведующий лабораторией динамических испытаний, научно-исследовательский институт механики Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова, заведующий кафедрой «Сопротивление материалов, динамика и прочность машин» Московского авиационного института (национальный исследовательский университет)

 Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), МоскваMoscow Aviation Institute (National Research University), Moscow НИИ механики Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова, МоскваInstitute of Mechanics Lomonosov Moscow University, Moscow 27 06 2020 17 2 57 65 17 05 2020 26 05 2020 27 06 2020 Copyright (c) 2020 Фам Т.Д., Тарлаковский Д.В. 2020 Фам Т.Д., Тарлаковский Д.В. Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.

The coupled non-stationary longitudinal vibrations of electromagnetoelastic rods are investigated. It is assumed that the material of the rod is a homogeneous isotropic conductor. The equations used take into account the initial electromagnetic field, the Lorentz force, Maxwell's equations and the generalized Ohm's law. They are obtained as a special case of the corresponding relations for thin electromagnetoelastic shells under the assumption that the desired functions depend only on the longitudinal coordinate.

Two variants of the rods are considered: the infinite rod under the condition that the desired functions are limited and the finite rod with fixed and isolated end cross sections. In the initial electromagnetic field, only the magnetic field strength differs from zero. The solution is presented in integral form with kernels in the form of Green functions. To determine the kernels, the Laplace transform in time and the Fourier transform or trigonometric series in the longitudinal coordinate are used. Explicit forms of solutions are obtained when the transverse compression is ignored and under the conditions of a quasi-static perturbed electromagnetic field. Examples of calculations are provided.

Исследованы связанные нестационарные продольные колебания электромагнитоупругих стержней. Предполагается, что материал стержня является однородным изотропным проводником. В используемых уравнениях учитываются начальное электромагнитное поле, сила Лоренца, уравнения Максвелла и обобщенный закон Ома. Они получены как частный случай соответствующих соотношений для тонких электромагнитоупругих оболочек в предположении зависимости искомых функций только от продольной координаты.Рассмотрены два варианта стержней: бесконечный и конечный с закрепленными концами. Решения представлены в интегральной форме с ядрами в виде функций Грина. Их явные формы получены при пренебрежении поперечным обжатием и в условиях квазистатического возмущенного электромагнитного поля. Приведены примеры расчетов.

 связанная нестационарная электромагнитоупругость стержень продольные колебания функции Грина преобразования Лапласа преобразования Фурье тригонометрические ряды coupled non-stationary electromagnetoelasticity rod longitudinal vibrations Green functions Laplace transforms Fourier transforms trigonometric series Чиркунов Ю.А. Нелинейные продольные колебания вязкоупругого стержня в модели кельвина // Прикладная математика и механика, 2015, Т. 79. № 5, С. 717–727. Жуков И.А. Продольные колебания стержней применительно к ударным системам технологического назначения // Машиностроение и инженерное образование, 2016, № 1, С. 40–49. . Mashinostroenie i inzhenernoe obrazovanie , 2016, no. 1, pp. 40–49. (In Russian)] Zhu X., Li L. Longitudinal and torsional vibrations of size-dependent rods via nonlocal integral elasticity // International Journal of Mechanical Sciences, 2017, vol. 133. pp. 639–650. Мардонов Б.М., Рахматов Р., Рахманов А., Тангиров А. Продольные колебания физически нелинейных стерженевых систем // Знание, 2016, № 1 (30), С. 57–60. . Znanie , 2016, no. 1-1 (30), pp. 57–60. (In Russian)] Soleimani Roody B., Fotuhi A.R., Jalili M.M. Nonlinear longitudinal forced vibration of a rod undergoing finite strain // Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part C: Journal of Mechanical Engineering Science, 2018, vol. 232. № 12, pp. 2229–2243. Пожалостин А.А., Паншина А.В. Продольные и крутильные колебания однородных стержней и валов. М.: Методические указания МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2016, 36 c. . M.: MSTU named N.E. Bauman, 2016, 36 p. (In Russian)] Томилин А.К., Прокопенко Е.В. Продольные колебания упругого электропроводного стержня в неоднородном магнитном поле // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика, 2013, № 1 (21), С. 104–111. . Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika , 2013, no. 1 (21), pp. 104–111. (In Russian)] Сдобников А.Н., Сдобников С.А. Продольные колебания пьезокерамического стержня при возбуждении электрическим полем // Инженерный вестник, 2014.№ 12, С. 38. . Inzhenernyj vestnik , 2014, no. 12. p. 38. (In Russian)] Chen W.Q., Zhang C.L. Exact analysis of longitudinal vibration of a nonuniform piezoelectric rod // Second International Conference on Smart Materials and Nanotechnology in Engineering 2009, pp. 749307–7, DOI:10.1117/12.840398 Vestyak V.A., Tarlakovskii D.V. The model of thin electromagnetoelastic shells dynamics // Proceedings of the second international conference on theoretical, Applied and Experimental Mechanics. Structural Integrity. Springer, Nature Switzerland AG, 2019, pp. 254–258. Горшков А.Г., Медведский А.Л., Рабинский Л.Н., Тарлаковский Д.В. Волны в сплошных средах. М.: Физматлит, 2004, 472 c. . M.: Fizmatlit, 2004, 472 p. (In Russian)] Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. М.: Наука, 1981 800 с. . – M.: Nauka, 1981, 800 p. (In Russian)] Диткин В.А., Прудников А.П. Справочник по операционному исчислению. М.: «Высшая школа», 1965, 467 c. . M.: «Vysshaya shkola», 1965, 467 p. (In Russian)] Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. M.: Наука, 1979, 832 c. . M.: Nauka, 1979, 832 p. (In Russian)] Вестяк В.А., Гачкевич А.Р., Мусий Р.С., Тарлаковский Д.В., Федотенков Г.В. Двумерные нестационарные волны в электроманитоупругих телах. М.: Физматлит, 2019, 288 c. . M.: Fizmatlit, 2019, 288 p.(In Russian)]