The generalized Laplace condition describing equilibrium surface of pendant drop with intermediate layer is considered and the corresponding Cauchy problem is formulated. The main part of the generalized Laplace condition is not linear. We construct non-linear differential operator of the first order and formulate Cauchy problem for it. Using Shauder theorem we prove that it has analytic positive solution. We prove that the coefficients of the series representing this solution can be used as upper bounds for the moduli of the coefficients of the series formally representing a solution of the generalized Laplace condition. Thus, the existence of analytic solution of nonlinear equation representing generalized Laplace condition is proved. The theorem we proved gives a possibility to calculate with any degree of approximation the form of the drop. The method without any serious alterations can be used in order to investigate sessile drops.

В работе рассматривается обобщённое условие Лапласа, определяющее равновесные формы висящих капель, в том случае, когда принимается во внимание толщина промежуточного слоя. Главная часть дифференциального оператора второго порядка в таком случае, в отличие от классического, представляет собой нелинейный оператор. Для построения ряда, мажорирующего ряд, определяющий решение обобщённого условия Лапласа, в работе конструируется нелинейный дифференциальный оператор первого порядка с аналитическими коэффициентами. С помощью теоремы Шаудера для вполне непрерывных операторов доказывается локальное существование решения этого уравнения в классе аналитических функций. Устанавливается, что построенное решение является положительным. Это позволяет доказать, что ряд, формально определяемый как решение обобщённого условия Лапласа, мажорируется построенным рядом. Доказанная теорема позволяет конструировать сколь угодно точные приближения форм равновесных капель с заданной наперёд высотой. Без существенных изменений метод применим к исследованию сидящих капель.