vestnik Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества Ecological Bulletin of Research Centers of the Black Sea Economic Cooperation 1729-5459 Кубанский государственный университет RU 946 10.31429/vestnik-18-3-26-34 Научная статья Original article Механика Mechanics К исследованию динамических задач для слоисто-структурированных сред с разрывными граничными условиям On the study of dynamic problems for layered-structured media with discontinuous boundary condition Павлова А.В. Павлова Алла Владимировна Pavlova Alla V. pavlova@math.kubsu.ru

д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры математического моделирования Кубанского государственного университета

 Рубцов С.Е. Рубцов Сергей Евгеньевич Rubtsov Sergei E. rub_serg@mail.ru

канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры математического моделирования Кубанского государственного университета

 Телятников И.С. Телятников Илья Сергеевич Telyatnikov Ilya S. ilux_t@list.ru

канд. физ.-мат. наук, научный сотрудник лаборатории математики и механики Федерального исследовательского центра Южный научный центр Российской академии наук

 Кубанский государственный университет, КраснодарKuban State University, Krasnodar Южный научный центр РАН, Ростов-на-ДонуSouthern Scientific Centre of Russian Academy of Science, Rostov-on-Don 28 06 2021 18 2 26 34 14 06 2021 16 06 2021 28 06 2021 Copyright (c) 2021 Павлова А.В., Рубцов С.Е., Телятников И.С. 2021 Павлова А.В., Рубцов С.Е., Телятников И.С. Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.

The problems of vibration for bodies with a single defect or with a system of defects under the effect of loads in various formulations are considered in numerous works by a number of authors. The discovery of the localization of vibration processes in the vicinity of plane inhomogeneities was led by V.A. Babeshko to the creation of a theory that studies various combinations of defects and their influence on the dynamic properties of layered elastic media.The theory of vibration resistance viruses has wide applications in various fields, among which one of the most important is seismology.The paper presents an approach for solving the problems of oscillation for multilayer media with a single defect or with a system of defects such as rigid inclusions under the effect of harmonic loads based of the theory of vibration resistance viruses proposed by V.A. Babeshko. The obtained functional-matrix relations for the characteristics of the stress-strain state of a layer package containing a set of plane inclusions serve as the basis for the construction of an integral equations system for contact stresses in the area of a stamp effect and stress surges on the edges of inclusions. Factorization methods can be used for solving integral equations (IE) and systems for some special cases of the stamp bottom and inclusion forms.In this work, we present the solution of the integral equation for the scalar problem with a single inclusion using the fictitious absorption method, and show the results of the calculations for the real part of the vertical component of the stress jump amplitude vector for a rigid inclusion in a three-layer package with a clamped bottom edge.Along with such fields as seismology and geophysics, which study the stress-strain state of geological structures, the presented approach can find applications in materials science, defectoscopy, engineering practice, etc.

Теория вирусов вибропрочности, созданная В.А. Бабешко, имеет широкие приложения в различных областях, среди которых одной из важных является сейсмология. В работе представлен подход к решению задач о колебании многослойных сред с одиночным дефектом или с системой дефектов типа жестких включений под действием гармонических нагрузок на основе предложенной В.А. Бабешко теории вирусов вибропрочности. Полученные функционально-матричные соотношения для характеристик напряженно-деформированного состояния пакета слоев, содержащего совокупность плоских включений, служат основой для построения системы интегральных уравнений относительно контактных напряжений в области действия штампа и скачков напряжений на берегах включений. Приведено решение интегрального уравнения скалярной задачи для одиночного включения с помощью метода фиктивного поглощения, представлены результаты расчетов вещественной части вертикальной компоненты вектора амплитуды скачка напряжений для жесткого включения в трехслойном пакете с защемленной нижней гранью.

 слоисто-структурированная среда вирус вибропрочности жесткие включения интегральное уравнение метод фиктивного поглощения layered-structured medium vibration resistance virus rigid inclusions integral equation fictitious absorption method Работа выполнена в рамках задания ГЗ ЮНЦ РАН, проект №~01201354241, отдельные результаты работы получены при поддержке РФФИ (проект 19-08-00145). Александров В.М., Сметанин Б.И., Соболь Б.В. Тонкие концентраторы напряжений в упругих телах. М.: Наука, 1993. 224 с. . Nauka, Moscow, 1993. (In Russian)] Ватульян А.О., Соловьев А.Н. Идентификация плоских трещин в упругой среде // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудичества. 2003. № 1. С. 23–28. . Ekologicheskiy vestnik nauchnykh tsentrov Chernomorskogo ekonomicheskogo sotrudichestva , 2003, no. 1, pp. 23–28. (In Russian)] Глушков Е.В., Глушкова Н.В. Дифракция упругих волн на пространственных трещинах произвольной в плане формы // ПММ. 1996. Т. 60. Вып. 2. С. 282–289. . Prikladnaya matematika i mekhanika , 1996, vol. 60, iss. 2, pp. 282–289. (In Russian)] Кит Г.С., Михаськив В.В., Хай О.М. Анализ установившихся колебаний плоского абсолютно жесткого включения в трехмерном упругом теле методом конечных элементов // ПММ. 2002. Т. 66. Вып. 5. C. 855–863. . Prikladnaya matematika i mekhanika , 2002, vol. 66, iss. 5, pp. 855–863. (In Russian)] Antipov Y.A. A delaminated inclusion in the case of adhesion and slippage // J. Appl. Math. Mech. 1996. Iss. 60. P. 665–675. Fan T.Y. Continuum constitutive models and analytic solution of crack problems of cellular materials // J. Materials Science and Technology. 2003. Iss. 11. P. 86–105. Feng Y.D., Wang Y.S., Zhang Z.M., Cui J.Z. Dynamic interaction of plane waves unilaterally frictionally constrained inclusion // Acta Mechanica Solida Sinica. 2003. Iss. 16. P. 189–196. Бабешко В.А. К проблеме динамического разрушения трещиноватых слоистых тел // ДАН СССР. 1989. Т. 307, № 2. С. 324–327. . Doklady AN SSSR , 1989, vol. 307, no. 2, pp. 324–327. (In Russian)] Бабешко В.А. К расчету параметров высокочастотного резонанса в трехмерном случае // ДАН СССР. 1994. Т. 335, № 1. С. 55–58. . Doklady AN SSSR , 1994, vol. 335, no. 1, pp. 55–58. (In Russian)] Бабешко В.А. Динамика сред при наличии совокупности неоднородностей или дефектов и теория вирусов вибропрочности // Изв. Вузов. Сев.-Кавказ. Регион. Естеств. Науки. 1998. № 1. С. 24–26. . Izvestiya Vuzov. Severo-Kavkazskiy Region. Estestvennye Nauki , 1998, no. 1, pp. 24–26. (In Russian)] Бабешко В.А. Среды с неоднородностями (случай совокупностей включений и трещин) // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2000. № 3. С. 5–9. . Izvestiya RAN. Mekhanika tverdogo tela , 2000, no. 3, pp. 5–9. (In Russian)] Babeshko V.A., Pavlova A.V., Ratner S.V., Williams R.T. Problems on the vibration of an elastic half-space containing a system of interior cavities // Doklady Physics. 2002. Vol. 47. Iss. 9. P. 677–679. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Метод факторизации в теории вирусов вибропрочности // ДАН. 2003. Т. 393, № 4. С. 1–5. . Doklady RAN , 2003, vol. 393, no. 4, pp. 1–5. (In Russian)] Собисевич Л.Е., Собисевич А.Л., Фатьянов А.Г. Длиннопериодные сейсмогравитационные процессы в литосфере. М.: ИФЗ РАН, 2020. 228 с. . IFZ RAN, Moscow, 2020. (In Russian)] Пряхина О.Д., Смирнова А.В. Эффективный метод решения динамических задач для слоистых сред с разрывными граничными условиями // ПММ. 2004. Т. 68, Вып. 3. С. 499–506. . Prikladnaya matematika i mekhanika , 2004, vol. 68, iss. 3, pp. 499–506. (In Russian)] Качко Д.Л., Пряхина О.Д., Смирнова А.В., Березин Н.С. К расчету динамических характеристик гексагональных пьезоэлектриков // Известия вузов. Сев.-Кавказ. регион. Естеств. науки. 2009. № 5. С. 30–33. . Izvestiya vuzov. Severo-Kavkazskiy region. Estestvennye nauki , 2009, no. 5, pp. 30–33. (In Russian)] Ворович И.И., Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М.: Наука, 1979. 320 с. . Nauka, Moscow, 1979. (In Russian)] Колесников М.Н., Павлова А.В. Дифференциальный метод факторизации в исследовании динамики упругих сред с совокупностью дефектов // Экологический вестник Черноморского экономического сотрудничества. 2011. № 4. С. 36–44. . Ekologicheskiy vestnik nauchnykh tsentrov Chernomorskogo ekonomicheskogo sotrudichestva , 2011, no. 4, pp. 36–44. (In Russian)] Борисов Д.В., Пряхина О.Д., Смирнова А.В. Решение динамической задачи для трехслойной среды с включениями // Экологический вестник Черноморского экономического сотрудничества. 2004. № 2. С. 8–13. . Ekologicheskiy vestnik nauchnykh tsentrov Chernomorskogo ekonomicheskogo sotrudichestva , 2004, no. 2, pp. 8–13. (In Russian)] Бабешко В.А. Новый метод в теории пространственных динамических смешанных задач // ДАН СССР. 1978. Т. 242. Вып. 1. С. 62–65. . Doklady AN SSSR , 1978, vol. 242, iss. 1, pp. 62–65. (In Russian)] Бабешко В.А. Обобщенный метод факторизации в пространственных динамических смешанных задачах теории упругости. М.: Наука, 1984. 256 с. . Nauka, Moscow, 1984. (In Russian)] Ворович И.И., Бабешко В.А., Пряхина О.Д. Динамика массивных тел и резонансные явления в деформируемых средах. М.: Научный мир, 1999. 248 с. . Nauchnyj mir, Moscow, 1999. (In Russian)]