vestnik Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества Ecological Bulletin of Research Centers of the Black Sea Economic Cooperation 1729-5459 Кубанский государственный университет RU 984 10.31429/vestnik-19-2-6-16 Научная статья Original article Механика Mechanics Градиентная модель изгиба составной балки Gradient model of bending of a composite beam https://orcid.org/0000-0003-0444-4496 Ватульян А.О. Ватульян Александр Ованесович Vatulyan Alexander O. aovatulyan@sfedu.ru

д-р физ.-мат. наук, заведующий  кафедрой теории упругости Института математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича Южного федерального университета

 https://orcid.org/0000-0003-3780-5104 Нестеров С.А. Нестеров Сергей Анатольевич Nesterov Sergey A. 1079@list.ru

канд. физ.-мат. наук, старший научный сотрудник отдела дифференциальных уравнений Южного математического института – филиала ВНЦ РАН

 Южный федеральный университет, Ростов-на-ДонуSouthern Federal University, Rostov-on-Don Южный математический институт – филиал Владикавказского научного центра РАН, ВладикавказSouthern Mathematical Institute, Vladikavkaz Scientific Center of Russian Academy of Sciences, Vladikavkaz 30 06 2022 19 2 6 16 10 06 2022 17 06 2022 30 06 2022 Copyright (c) 2022 Ватульян А.О., Нестеров С.А. 2022 Ватульян А.О., Нестеров С.А. Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.

Size-dependent models of beam bending have attracted increased attention of scientists in recent years. The gradient theory of elasticity is used for the correct description of experimental data for micro-dimensional beams. However, the problem of obtaining simplified analytical expressions for moments and deflections of a composite beam remains unexplored. A study of the problem of bending a composite Euler-Bernoulli beam taking into account large-scale effects is carried out. To account for the size effects, the one-parameter gradient model of Aifantis is used. One end of the beam is rigidly fixed. Three types of beam loading are considered: 1) evenly distributed transverse force; 2) bending moment; 3) transverse force at the other end of the beam. Within the framework of the gradient theory of elasticity, the problem is formulated in terms of the bending moment, while additional boundary conditions and conjugation conditions are set. Bending moments are represented as the sum of solutions of the problem in the classical formulation and additional gradient terms. Simplified asymptotic expressions for gradient terms for small values of the scale parameter are obtained for each type of load. The limits of applicability of the asymptotic approach are investigated. Analytical formulas for finding the deflection of the middle line of the beam under arbitrary laws of inhomogeneity of bending stiffness are obtained. Calculations of moments and deflection, both in the case of homogeneous and inhomogeneous parts of the beam, are carried out on specific examples. The following was found out: bending moments experience a jump on the interface surface; deflections are continuous; an increase in the scale parameter leads to a decrease in the deflection value. The dependence of the moment jump on the flexural stiffness modules and the scale parameter is investigated. A comparative study of the influence of the value of the inhomogeneity parameter on the deflection distribution was carried out.

Проведено исследование задачи изгиба составной балки Эйлера-Бернулли с учетом масштабных эффектов. Для учета масштабных эффектов применяется однопараметрическая градиентная модель Айфантиса. Рассмотрены три вида нагружения: 1) равномерно распределенной по длине балки поперечной силой; 2) изгибающим моментом; 3) поперечной силой, действующими на торце балки.  Изгибающие моменты  представлены в виде суммы решений задачи в классической постановке и дополнительных градиентных слагаемых. Для каждого вида нагрузки получены упрощенные асимптотические выражения для нахождения градиентных слагаемых при малых значениях масштабного параметра. Исследована зависимость скачка моментов на поверхности сопряжения от модулей изгибной жесткости и масштабного параметра.

 градиентная теория упругости изгибающий момент составная балка модель Эйлера-Бернулли асимптотическое решение неоднородные материалы gradient theory of elasticity bending moment composite beam Euler-Bernoulli model asymptotic solution inhomogeneous materials This work was supported by the grant from the Russian Science Foundation (project n0. 22-11-00265) Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 22-11-00265) Papargyri-Beskou S., Tsepoura K., Polyzos D., Beskos D. Bending and stability analysis of gradient elastic beams. Int. J. Solids Struct., 2003, vol. 40, iss. 2, pp. 385–400. DOI 10.1016/S0020-7683(02)00522-X Niiranen J., Balobanov V., Kiendl J., Hosseini S. Variational formulations, model comparisons and numerical methods for Euler–Bernoulli micro-and nano-beam models. Math. Mech. Solids, 2017, vol. 24, iss. 1, pp. 312–335. DOI 10.1177/1081286517739669 Lurie S., Solyaev Y. Revisiting bending theories of elastic gradient beams. Int. J. Eng. Sci, 2018, vol. 126, pp. 1–21. DOI 10.1016/j.ijengsci.2018.01.002 Lurie S., Solyaev Y. On the formulation of elastic and electroelastic gradient beam theories. Continuum Mech. Thermodyn., 2019, pp. 1–13. DOI 10.1007/s00161-019-00781-3 Ломакин Е.В., Лурье С.А., Рабинский Л.Н., Соляев Ю.О. Об уточнении напряженного состояния в прикладных задачах теории упругости за счет градиентных эффектов. Доклады Академии наук, 2019, т. 489, № 6, с. 585–591 DOI 10.31857/S0869-56524896585-591 Lam D.C., Yang F., Chong A.,Wang J., Tong P. Experiments and theory in strain gradient elasticity. J. Mech. Phys. Solids, 2003, vol. 51, iss. 8, pp. 1477–1508. DOI 10.1016/S0022-5096(03)00053-X Toupin R.A. Elastic materials with couple-stresses. Arch. Rational Mech. Anal., 1962, vol. 11, pp. 385–414. DOI 10.1007/BF00253945 Mindlin R.D. Micro-structure in linear elasticity. Arch. Rational Mech. Anal., 1964, vol. 16, pp. 51–78. DOI 10.1007/BF00248490 Aifantis E.C. Gradient effects at the macro, micro and nano scales. JMBM, 1994, vol. 5, pp. 335–353. DOI 10.1515/JMBM.1994.5.3.355 Altan B.S., Aifantis E.C. On some aspects in the special theory of gradient elasticity. JMBM, 1997, vol. 8, pp. 231–282. DOI 10.1515/JMBM.1997.8.3.231 Лурье С.А., Белов П.А., Рабинский Л.Н., Жаворонок С.И. Масштабные эффекты в механике сплошных сред. Материалы с микро- и наноструктурой. Москва, Издательство МАИ, 2011 Лурье С.А., Соляев Ю.О., Рабинский Л.Н., Кондратова Ю.Н., Волов М.И. Моделирование напряженно-деформированного состояния тонких композитных покрытий на основе решения плоской задачи градиентной теории упругости для слоя. Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика, 2013, № 1, с. 161–181 Li A., Zhou S., Zhou S., Wang B. A size-dependent bilayered microbeam model based on strain gradient elasticity theory. Compos. Struct., 2014, vol. 108, pp. 259–266. DOI 10.1016/j.compstruct.2013.09.020 Fu G., Zhou S., Qi L. The size-dependent static bending of a partially covered laminated microbeam. Int. J. Mech. Sci., 2019, vol. 152, pp. 411–419. DOI 10.1016/j.ijmecsci.2018.12.037 Asghari M., Ahmadian M.T., Kahrobaiyan M.H., Rahaeifard M. On the size dependent behavior of functionally graded micro-beams. Mater Des., 2010, vol. 31, pp. 2324–2333. DOI 10.1016/J.MATDES.2009.12.006 Kahrobaiyan M.H., Rahaeifard M., Tajalli S.A., Ahmadian M.T. A strain gradient functionally graded Euler–Bernoulli beam formulation. Int J Eng Sci., 2012, vol. 52, pp. 65–76. DOI 10.1016/J.IJENGSCI.2011.11.010 Salamat-talab M., Shahabi F., Assadi A. Size dependent analysis of functionally graded microbeams using strain gradient elasticity incorporated with surface energy. Appl Math Modell., 2012. DOI 10.1016/j.apm.2012.02.053 Eltaher M.A., Khairy A., Sadoun A.M., Omar F.A. Static and buckling analysis of functionally graded Timoshenko nanobeams. Appl Math Comput., 2014, vol. 229, pp. 283–295. DOI 10.1016/j.amc.2013.12.072 Li L., Hu Y. Post-buckling analysis of functionally graded nanobeams incorporating nonlocal stress and microstructure-dependent strain gradient effects. Int J Mech Sci., 2017, vol. 120, pp. 159–170. DOI 10.1016/j.ijmecsci.2016.11.025 Momeni S.A., Asghari M. The second strain gradient functionally graded beam formulation. Composite Structures, 2018, pp. 1–37. DOI 10.1016/j.compstruct.2017.12.046 Ватульян А.О., Нестеров С.А. Решение задачи градиентной термоупругости для полосы с покрытием. Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки, 2021, т. 163, кн. 2, с. 181–196 DOI 10.26907/2541-7746.2021.2.181-196 Vatulyan А.О., Nesterov S.А. On the deformation of a composite rod in the framework of gradient thermoelasticity. Materials Physics Mechanics, 2020, vol. 46, pp. 27–41. DOI 10.18149/MPM.4612020_3 Ватульян А.О., Нестеров С.А., Юров В.О. Решение задачи градиентной термоупругости для цилиндра с термозашитным покрытием. Вычислительная механика сплошных сред, 2021, т. 14, № 3, с. 253–263 DOI 10.7242/1999-6691/2021.14.3.21 Ватульян А.О., Нестеров С.А., Юров В.О. Исследование напряженно-деформированного состояния полого цилиндра с покрытием на основе градиентной модели термоупругости. Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика, 2021, № 4, с. 60–70 DOI 10.15593/perm.mech/2021.4.07