In the paper, a class of regular convex and bordered Liouville surfaces is considered. We deduce the non-liner Beltrami equation whose solutions permit to transform arbitrary isothermal pameterization into semi-geodesic one. Using the well-known representations of geodesic lines of Liouville surfaces, we prove that Beltrami equation turns to be linear one. Using geodesic lines of the surface, we construct also topological mapping on the set defined by the distribution of geodesic lines. We prove that this mapping is a solution of the Beltrami equation realizing passing from isothermal parameterization to the semi-geodesic one. Applying the theorem of solvability of Dirichlet problem for Monge-Ampere equation, we prove that the admissible surfaces admit non-trivial variations leading to admissible ones. As in the case of axisymmetrical surfaces we define functional of Gauss curvature on the class of admissible surfaces and prove that its first variation for some special variations of the admissible surface is determined by its Gauss curvature.

В работе рассматривается класс допустимых гладких выпуклых поверхностей Лиувилля с краем. В ней выводится нелинейное уравнение Бельтрами, решения которого определяют переход от произвольной изотермической параметризации к полугеодезической. С использованием представлений геодезических линий поверхностей Лиувилля устанавливается, что в случае поверхностей Лиувилля оно приводится к линейному уравнению. С использованием известных явных представлений геодезических линий поверхностей Лиувилля конструируется топологическое отображение на область, определяемую распределением геодезических линий поверхности. Доказывается, что оно является решением найденного уравнения Бельтрами и осуществляет переход от изотермической параметризации поверхности к полугеодезической. С использованием теоремы о разрешимости задачи Дирихле для уравнения Монжа-Ампера, теоремы о существовании локальной полугеодезической параметризации для любой гладкой поверхности с невырожденной первой квадратичной формой, а также свойств гомеоморфизмов, являющихся решениями полученного уравнения Бельтрами, устанавливается, что класс допустимых поверхностей не пуст. На классе допустимых поверхностей по аналогии с осесимметрическим случаем определяется функционал Гауссовой кривизны. Доказывается существование специальных вариаций допустимых поверхностей, не выводящих из класса допустимых, на которых вариация функционала определяется Гауссовой кривизной варьируемой поверхности.