vestnik Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества Ecological Bulletin of Research Centers of the Black Sea Economic Cooperation 1729-5459 Кубанский государственный университет RU 993 10.31429/vestnik-19-3-6-16 Научная статья Original article Математика Mathematics Численно-аналитический метод решения краевых задач для системы уравнений Нернста-Планка и Пуассона Numerical-analytical method for solving boundary value problems for the system of Nernst-Planck and Poisson equations https://orcid.org/0000-0002-3991-3953 Коваленко А.В. Коваленко Анна Владимировна Kovalenko Anna V. savanna-05@mail.ru

д-р техн. наук, доцент, заведующая кафедры анализа данных и искусственного интеллекта Кубанского государственного университета

 https://orcid.org/0000-0003-3535-0361 Чубырь Н.О. Чубырь Наталья Олеговна Chubyr Natalia O. chubyr-natalja@mail.ru

канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры прикладной математики Кубанского государственного университета

 https://orcid.org/0000-0001-5951-9876 Узденова А.М. Узденова Аминат Магометовна Uzdenova Aminat M. uzd_am@mail.ru

канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры информатики и вычислительной математики Карачаево-Черкесского государственного университета им. А.Д. Алиева

 https://orcid.org/0000-0002-0252-6247 Уртенов М.Х. Уртенов Махамет Хусеевич Urtenov Makhamet A. Kh. urtenovmax@mail.ru

д-р физ.-мат. наук, профессор, заведующий кафедры прикладной математики Кубанского государственного университета

 Кубанский государственный университет, КраснодарKuban State University, Krasnodar Карачаево-Черкесский государственный университет им. У.Д. Алиева, КарачаевскKarachay-Cherkess State University named after U.D. Alieva, Karachaevsk 12 10 2022 19 3 6 16 04 10 2022 12 10 2022 12 10 2022 Copyright (c) 2022 Коваленко А.В., Чубырь Н.О., Узденова А.М., Уртенов М.Х. 2022 Коваленко А.В., Чубырь Н.О., Узденова А.М., Уртенов М.Х. Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.

Electromembrane systems, are used for desalination at electrolyte solution concentrations ranging from 1 to 100 mol/m3. In a theoretical study of increasing the efficiency of the desalination process, mathematical modeling is used in the form of a boundary value problem for the system of Nernst-Planck and Poisson (NPP) equations, which refers to "hard" problems that are difficult to solve numerically. This is caused by the appearance of a small parameter at the derivative in the Poisson equation in a dimensionless form, and, correspondingly, a boundary layer in ion-exchange membranes, where concentrations and other characteristics of the desalination process change exponentially. It is for this reason that the numerical study of the boundary value problem is currently obtained for initial concentrations of the order of 0.01 mol/m3. The paper proposes a new numerical-analytical method for solving boundary value problems for the system of NPP equations for real initial concentrations, using which the phenomenon of space charge breakdown (SCB) is studied.

Электромембранные системы обессоливания, в том числе электродиализные аппараты, используются для обессоливания при концентрациях раствора электролита в пределах от 1 моль/м3 до 100 моль/м3. Для теоретического их исследования с целью повышения эффективности процесса обессоливания используется математическое моделирование в виде краевой задачи для системы уравнений Нернста-Планка и Пуассона, которая относится к "жестким" задачам, плохо поддающимся численному решению. Это вызвано появлением малого параметра у производной в уравнении Пуассона в безразмерном виде, и, соответственно, погранслоя у ионообменных мембран, где концентрации и другие характеристики процесса обессоливания меняются экспоненциально. Именно, по этой причине, численное решение краевых задача в настоящее время, получено для начальных концентраций порядка 0,01 моль/м3. В работе предлагается новый численно-аналитический метод решения краевых задач для системы уравнений Нернста-Планка и Пуассона для реальных начальных концентраций и при этих условиях исследовано явление пробоя пространственного заряда в сечении канала обессоливания.

 система уравнений Нернста-Планка-Пуассона электромембранные системы численное решение сечение канала обессоливания system of Nernst-Planck-Poisson equations electromembrane systems numerical methods desalination channel This reported study was funded by RFBR and DFG according to the research project no 20-58-12018 NNIO_a. Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта 20-58-12018 ННИО_а "Исследование влияния электроконвекции, диссоциации воды и геометрии спейсеров на электродиализное обессоливание в интенсивных токовых режимах". Rajeshwar, K., Ibanez, J.G., Swain, G.M., Electrochemistry and the environment. Journal of Applied Electrochemistry, 1994, vol. 24, iss. 11, pp. 1077–1091. Bazinet, L., Doyen, A., Antioxidants, mechanisms, and recovery by membrane processes. Crit. Rev. Food Sci. Nutr., 2017, vol. 57, pp. 677–700. DOI: 10.1080/10408398.2014.912609 Xu, H., Ji, X., Wang, L., Huang, J., Han, J., Wang, Y., Performance study on a small-scale photovoltaic electrodialysis system for desalination. Renewable Energy, 2020, vol. 154, pp. 1008–1013. DOI: 10.1016/j.renene.2020.03.066 Ortiz, J.M., Expósito, E., Gallud, F., García-García, V., Montiel, V., Aldaz, A., Electrodialysis of brackish water powered by photovoltaic energy without batteries: direct connection behaviour. Desalination, 2007, vol. 208, iss. 1–3, pp. 89–100. DOI: 10.1016/j.desal.2006.05.026 Рубинштейн, И., Зальцман, Б., Прец, И., Линдер, К., Экспериментальная проверка электроосмотического механизма формирования "запредельного" тока в системе с катионообменной электродиализной мембраной. Электрохимия, 2002, т. 38, № 8, с. 956. Nikonenko, V.V., Kovalenko, A.V., Urtenov, M.K., Pismenskaya, N.D., Han, J., Sistat, P., Pourcelly, G., Desalination at overlimiting currents: State-of-the-art and perspectives, Desalination, 2014, vol. 342, pp. 85–106. DOI: 10.1016/j.desal.2014.01.008 Ran, J., Wu, L., He, Y., Yang, Zh., Wang, Y., Jiang, Ch., Ge, L., Bakangura, E., Xu, T., Ion exchange membranes: New developments and applications. J. Membr. Sci., 2017, vol. 522, pp. 267–291. DOI: 10.1016/j.memsci.2016.09.033 Rubinstein, I., Shtilman, L., Voltage against current curves of cation exchange membranes. J. Chem. Soc. Faraday Trans., 1979, vol. 75, pp. 231–246. DOI: 10.1039/F29797500231 Demekhin, E.A., Shelistov, V.S., Polyanskikh, S.V., Linear and nonlinear evolution and diffusion layer selection in electrokinetic instability. Phys. Rev. E., 2011, vol. 84, p. 036318. DOI: 10.1103/PhysRevE.84.036318 Uzdenova, A.M., Kovalenko, A.V., Urtenov, M.K., Nikonenko, V.V., 1D mathematical modelling of non-stationary ion transfer in the diffusion layer adjacent to an ion-exchange membrane in galvanostatic model. Membranes, 2018, vol. 8, iss. 3, p. 84; DOI: 10.3390/membranes8030084 Mishchuk, N.A., Concentration polarization of interface and non-linear electrokinetic phenomena. Adv. Colloid Interface Sci., 2010, vol. 160, iss. 1–2, pp. 16–39. DOI: 10.1016/j.cis.2010.07.001 Чубырь, Н.О., Коваленко, А.В., Уртенов, М.А.Х., Численные и асимптотические методы анализа переноса 1:1 электролита в мембранных системах. Краснодар, КубГУ, 2018. Gudza, V.A., Chubyr. N.O., Kirillova. E.V., Urtenov, M.Kh., Numerical and asymptotic study of non-stationary mass transport of binary salt ions in the diffusion layer near the cation exchange membrane at prelimiting currents. Appl. Math. Inf. Sci., vol. 15, iss. 4, pp. 411–422. DOI: 10.18576/amis/150402 Лаврентьев, А.В., Уртенов, К.М., Хромых, А.А., Чубырь, Н.О., Численное и асимптотическое решения неодномерной системы уравнений Нернста-Планка-Пуассона. Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Серия: Естественные науки, 2010, no. 5, c. 17–22. Хромых, А.А., Чубырь, Н.О. Алгоритм численного решения одной краевой задачи с условием КРЗ. Свидетельство о регистрации программы для ЭВМ RU 2010615502. Заявка № 2010613989 от 05.07.2010. Uzdenova, A., Urtenov, M., Mathematical modeling of the phenomenon of space-charge breakdown in the galvanostatic mode in the section of the electromembrane desalination channel. Membranes (Basel), 2021, vol. 11, p. 873. DOI: 10.3390/membranes11110873 Urtenov, M., Chubyr, N., Gudza, V., Reasons for the formation and properties of soliton-like charge waves in membrane systems when using overlimiting current modes. Membranes (Basel), 2020, vol. 10, iss. 8, p. 189. DOI: 10.3390/membranes10080189 Чубырь, Н.О., Коваленко, А.В., Уртенов, М.Х., Гудза, И.В., Математическая модель стационарного переноса ионов соли в сечении канала при равновесии. Моделирование, оптимизация и информационные технологии, 2022, vol. 10, no. 3. DOI: 10.26102/2310-6018/2022.38.3.009 Gudza, V., Urtenov, M.A.Kh., Chubyr, N.O., Shkorkina, I., Mathematical modelling of space charge breakdown in membrane systems taking into account the non-catalytic dissociation/ recombination reaction of water molecules. В: E3S Web of Conferences. Series "Topical Problems of Agriculture, Civil and Environmental Engineering, TPACEE 2020", 2020, p. 02009.