On the properties of topological discretization of solutions to boundary value problems
[ Топологическая дискретизация решений граничных задач механики сплошных сред ]

  • Babeshko V. A. Кубанский государственный университет, г. Краснодар, Россия
  • Evdokimova O. V. Южный научный центр РАН, г. Ростов-на-Дону, Россия
  • Babeshko O. M. Кубанский государственный университет, г. Краснодар, Россия
УДК: 539.3

Аннотация

В данной работе впервые показано, что упакованные блочные элементы, используемые при решении краевой задачи методом блочных элементов, являются элементами дискретного топологического пространства. Поскольку решения краевых задач относятся к дискретному топологическому пространству, а не к уравнениям, можно получить решение в новой системе координат без необходимости изучения краевой задачи. Применяемый в задачах механики сплошных сред метод блочных элементов, имеющий связь с топологией, может стать более эффективным в прикладных задачах, если более глубоко использовать общие свойства детально изученных топологических пространств. Одним из важных свойств топологии является существование дискретных топологических пространств. Их характерным свойством является то, что элемент, представляющий собой Объединение любого множества элементов в топологическом пространстве, принадлежит дискретному топологическому пространству. Принадлежность дискретных блочных элементов к топологическому пространству означает, что можно полностью покрыть любую область кусочно-гладкой границей и, таким образом, получить в ней точное решение краевой задачи. В топологическом пространстве возможны непрерывные геометрические преобразования и переходы к новым системам координат. В данной работе показано, что упакованные блочные элементы, порожденные краевой задачей для уравнения Гельмгольца, являются элементами дискретного топологического пространства. Учитывая, что скалярные решения уравнения Гельмгольца могут описывать решения достаточно широкого набора векторных краевых задач, это свойство применимо и к решениям более сложных краевых задач. Построения, выполненные для однородного уравнения Гельмгольца, остаются в силе и для неоднородного.

Ключевые слова: граничные задачи, метод блочного элемента, упакованные блочные элементы, дискретные топологические пространства, уравнение Гельмгольца

Информация об авторах

Владимир Андреевич Бабешко
академик РАН, д-р физ.-мат. наук, заведующий кафедрой математического моделирования Кубанского государственного университета, руководитель научных направлений математики и механики Южного научного центра РАН
e-mail: babeshko41@mail.ru
Ольга Владимировна Евдокимова
д-р физ.-мат. наук, главный научный сотрудник Южного научного центра РАН
e-mail: evdokimova.olga@mail.ru
Ольга Мефодиевна Бабешко
д-р физ.-мат. наук, главный научный сотрудник научно-исследовательского центра прогнозирования и предупреждения геоэкологических и техногенных катастроф Кубанского государственного университета
e-mail: babeshko49@mail.ru

Литература

  1. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. Топологический метод решения граничных задач и блочные элементы // ДАН. 2013. Т. 449. № 4. С. 657–660.
  2. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. О топологических структурах граничных задач в блочных элементах // ДАН. 2016. Т. 470. № 6. С. 650–654.
  3. Зорич В.А. Математический анализ. Ч. 2. М.: МЦНМО, 2002. 788 с.
  4. Келли Д. Общая топология. М.: Наука, 1968. 384 с.
  5. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии. М.: Физматлит, 2004. 302 с.
  6. Голованов Н.Н., Ильютко Д.П., Носовский Г.В., Фоменко А.Т. Компьютерная геометрия. М.: Академия, 2006. 512 с.
  7. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. Трещины нового типа и модели некоторых нано материалов // Известия РАН. Механика твердого тела. 2020. № 5.
  8. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.
  9. Новацкий В. Динамические задачи термоупругости. М.: Мир, 1970. 256 с.
  10. Новацкий В. Электромагнитные эффекты в твердых телах. М.: Мир, 1986. 162 с.
  11. Улитко А.Ф. Метод собственных векторных функций в пространственных задачах теории упругости. Киев: Наукова Думка, 1979. 262 с.
  12. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф. Равновесие упругих тел канонической формы. Киев: Наукова Думка, 1985. 280 с.
  13. Головчан В.Т., Кубенко В.Д., Шульга Н.А., Гуз А.Н., Гринченко В.Т. Динамика упругих тел. Киев: Наукова Думка, 1986. 288 с.
  14. Гельфанд И.М., Минлос З.А., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группы Лоренца, их применения. М.: Физматлит, 1958. 368 с.
  15. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. М.: Наука, 1965. 426 с.
Страницы
8-13
Раздел
Математика
Прислано
2021-02-24
Опубликовано
2021-03-30

Наиболее читаемые статьи этого автора (авторов)

1 2 > >>