Факторизация полиномов над конечными полями

Аннотация

Законы факторизации неприводимых полиномов с целыми коэффициентами над конечными полями - давняя задача теории чисел и алгебры. Различные законы взаимности теории чисел в той или иной степени связаны с этой задачей. Группа Галуа неприводимого полинома $f(x)$ степени $n$ над полем рациональных чисел, рассматриваемая как подгруппа симметрической группы $S_n$, фактически описывает возможные типы факторизаций полинома $f(x)$ по простым модулям, а теоремы плотности Фробениуса и Чеботарева указывают возможную частоту тех или иных типов факторизаций по простым модулям. Следующая задача состоит в описании простых чисел, дающих определенный тип факторизации полинома $f(x)$ в терминах инвариантов, связанных с этим полиномом. Для полиномов с абелевой группой Галуа эту задачу в принципе решает глубокая теория полей классов. Для полиномов с не абелевой группой Галуа имеются лишь результаты для полиномов определенных семейств. В этой статье предлагается метод для решения этой задачи над полем рациональным чисел для кубических полиномов.