Факторизация полиномов над конечными полями
УДК
519.115.1DOI:
https://doi.org/10.31429/vestnik-15-3-6-11Аннотация
Законы факторизации неприводимых полиномов с целыми коэффициентами над конечными полями - давняя задача теории чисел и алгебры. Различные законы взаимности теории чисел в той или иной степени связаны с этой задачей. Группа Галуа неприводимого полинома $f(x)$ степени $n$ над полем рациональных чисел, рассматриваемая как подгруппа симметрической группы $S_{n}$, фактически описывает возможные типы факторизаций полинома $f(x)$ по простым модулям, а теоремы плотности Фробениуса и Чеботарева указывают возможную частоту тех или иных типов факторизаций по простым модулям. Следующая задача состоит в описании простых чисел, дающих определенный тип факторизации полинома $f(x)$ в терминах инвариантов, связанных с этим полиномом. Для полиномов с абелевой группой Галуа эту задачу в принципе решает глубокая теория полей классов. Для полиномов с не абелевой группой Галуа имеются лишь результаты для полиномов определенных семейств. В этой статье предлагается метод для решения этой задачи над полем рациональным чисел для кубических полиномов.
Ключевые слова:
неприводимый многочлен, группа Галуа, факторизацияБиблиографические ссылки
- Айерленд К., Раузен М. Классическое введение в современную теорию чисел, М.: Мир, 1987. [Ayerlend, K., Rauzen, M. Classical introduction to the modern theory of numbers. Mir, Moscow, 1987. (In Russian)]
- Алгебраическая теория чисел / под ред. Дж. Кассельса, А. Фрёлиха. М.: Мир, 1969. [Kassel's, Dzh., Frelikh, A. (eds.) Algebraic number theory. Mir, Moscow, 1969. (In Russian)]
- Сергеев А.Э., Яковлев А.В. О спектрах Галуа многочленов, зависящих от целочисленных параметров // Записки научных семинаров Санкт-Петербургского отделения математического института имени В.А. Стеклова РАН. 2005. Т. 321. С. 275–280. [Sergeev, A.E., Yakovlev, A.V. On Galois spectra of polynomials that depend on integer parameters. Zapiski nauchnykh seminarov Sankt-Peterburgskogo otdeleniya matematicheskogo instituta imeni V.A. Steklova RAN [Scientific seminars notes of the St. Petersburg branch of the Steklov mathematical Institute of RAS], 2005, vol. 321, pp. 275–280. (In Russian)]
- Sergeev A.E., Yakovlev A.V. On Galois spectra of polynomials with integral parameters // Journal of Mathematical Sciences. 2006. Vol. 136. Iss. 3. С. 3984–3987.
- Чеботарев Н. Основы теории Галуа. Л.: ГТТИ, 1934. [Chebotarev, N. Foundations of Galois theory, GTTI, Leningrad, 1934. (In Russian)]
- Сергеев А.Э., Сергеев Э.А. Основы теории Галуа. Краснодар: Изд-во КубГУ, 2014. 334 с. [Sergeev, A.E., Sergeev, E.A. Foundations of Galois theory. Izd-vo KubGU, Krasnodar, 2014. (In Russian)]
- Сергеев А.Э., Сергеев Э.А., Титов Г.Н., Соколова И.В. Теория чисел. Учеб.-метод. рекомендации и контрольные работы. Краснодар: Изд-во КубГУ, 2010. [Sergeev, A.E., Sergeev, E.A., Titov, G.N., Sokolova, I.V. Number theory. Educational and methodical recommendations and control works, Izd-vo KubGU, Krasnodar, 2010. (In Russian)]
- Лихарева Ю.А., Сергеев А.Э., Сергеев Э.А. О функции Эйлера // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета. 2017. № 127. С. 113–125. [Likhareva, Yu.A., Sergeev, A.E., Sergeev, E.A. About Euler function. Politematicheskiy setevoy elektronnyy nauchnyy zhurnal Kubanskogo gosudarstvennogo agrarnogo universiteta [Polythematic network electronic scientific journal of Kuban state agrarian University], 2017, no. 127, pp. 113–125. (In Russian)]
- Сергеев А.Э., Соколова И.В. Реализация групп Галуа триномами над полем рациональных чисел $Q$ // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета. 2017. № 131. С. 1497–1524. [Sergeev, A.E., Sokolova, I.V. Realization of Galois groups by trinoma over the field of rational numbers $Q$. Politematicheskiy setevoy elektronnyy nauchnyy zhurnal Kubanskogo gosudarstvennogo agrarnogo universiteta [Polythematic network electronic scientific journal of Kuban state agrarian University], 2017, no. 131, pp. 1497–1524. (In Russian)]
- Hasse H. Arithmetische Theorie der kubischen Zahlkörper auf klassenkörpertheoretischer Grundlage // Math. Zeitchr. 1930. Bd. 31, No. 4. S. 565–582.
- Делоне Б., Фадеев Д. Теория иррациональностей третьей степени. М.: Изд.. мaт. ин-та АН СССР, 1940. [Delone, B., Fadeev, D. The theory of irrationalities of the third degree, Mathematical Institute Academy of Science USSR Press., 1940. (In Russian)]
- Сергеев Э.А. Научные труды Кубанского университета: Вып. 166: Исследования по алгебре. Краснодар: Кубанский университет, МВ и ССО РСФСР, 1973. 98 с. [Sergeev, E.A. Scientific works of Kuban State University, vol. 166: Algebra Studies. Kuban State University Press, Krasnodar, 1973. (In Russian)]
- Cauchy A. Exercices de mathématiques, volume 4. Paris, 1829. 420 p.
Скачивания
Загрузки
Даты
Поступление
После доработки
Публикация
Как цитировать
Лицензия
Copyright (c) 2018 Сергеев А.Э.
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.
