Операционный и безоперационный методы получения фундаментальных решений дифференциальных уравнений в частных производных для нанопластин. Часть III

Авторы

  • Великанов П.Г. Казанский национальный исследовательский технический университет им. А.Н. Туполева–КАИ, Российская Федерация ORCID iD 0000-0003-0845-2880

УДК

531.39

EDN

EZIXCE

DOI:

10.31429/vestnik-23-1-8-21

Аннотация

В настоящее время известно много численных методов, но, к сожалению, методу граничных элементов (МГЭ) и его модификациям уделяется незаслуженно мало внимания, хотя он, как метод конечных элементов и метод конечных разностей, также является одним из наиболее успешных современных численных методов с высокой точностью полученных результатов. В этой связи представляется актуальным дальнейшее развитие МГЭ для решения задач, основанных на применении предварительно вычисленных точных фундаментальных решений. В данной статье (часть III), являющейся логическим продолжением ранее опубликованных статей (части I и II), с помощью операционного (метод комплексного интегрального преобразования Фурье) и безоперационного (метод функционального анализа) методов удалось решить задачу по поиску фундаментального решения линейного дифференциального уравнения в частных производных с постоянными коэффициентами на примере задачи изгиба тонкой однородной изотропной нанопластины, дифференциальное уравнение для которой получено в рамках нелокальной теории микроструктурной деформации. Показано, что метод функционального анализа позволил существенно упростить методику вычисления фундаментальных решений без необходимости предварительного глубокого изучения математической теории обобщенных функций и без привлечения аппарата операционного исчисления. Отмеченная теория и аппарат, к сожалению, до сих пор часто воспринимаются исследователями как трудные для понимания, что порой ограничивает область применения МГЭ.

Ключевые слова:

нанопластины, фундаментальные решения, обобщенные функции, метод функционального анализа, изотропные пластины

Информация о финансировании

Исследование не имело спонсорской поддержки.

Информация об авторе

  • Пётр Геннадьевич Великанов

    канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры реактивных двигателей и энергетических установок и кафедры машиноведения и инженерной графики Казанского национального исследовательского технического университета им. А.Н. Туполева–КАИ

Библиографические ссылки

  1. Omar, I., Marhoon, Th., Babadoust, Sh., Najm, A.Sh., Pirmoradian, M., Salahshour, S., Sajadi, S.M., Static stability of functionally graded porous nanoplates under uniform and non-uniform in-plane loads and various boundary conditions based on the nonlocal strain gradient theory. Results in Engineering, 2025, vol. 25, art. 103612. DOI: 10.1016/j.rineng.2024.103612
  2. Ullah, S., Bo, H., Zhang, J., Javed, M.F., Chen, W., Buckling behavior of orthotropic thin plates using analytical and machine learning methods. Engineering Structures, 2025, vol. 324, art. 119376. DOI: 10.1016/j.engstruct.2024.119376
  3. Zhou, Y., Huang, K., Static and dynamic stabilities of modified gradient elastic Kirchhoff–-Love plates. European Journal of Mechanics / A Solids, 2024, vol. 108, art. 105426. DOI: 10.1016/j.euromechsol.2024.105426
  4. Li, L., Tang H., Hu, Yu., The effect of thickness on the mechanics of nanobeams. International Journal of Engineering Science, 2018, vol. 123, pp. 81–91. DOI: 10.1016/j.ijengsci.2017.11.021
  5. Ansari, R., Gholami, R., Rouhi, H., Vibration analysis of single-walled carbon nanotubes using different gradient elasticity theories. Composites B: Engineering, 2012, vol. 43, iss. 8, pp. 2985–2989. DOI: 10.1016/j.compositesb.2012.05.049
  6. Mindlin, R.D., Eshel, N.N., On first strain-gradient theories in linear elasticity. International Journal of Solids and Structures, 1968, vol. 4, pp. 109–124. DOI: 10.1016/0020-7683(68)90036-X
  7. Papargyri-Beskou, S., Giannakopoulos, A.E., Beskos, D.E., Variational analysis of gradient elastic flexural plates under static loading. International Journal of Solids and Structures, 2010, vol. 47, iss. 20, pp. 2755–2766. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2010.06.003
  8. Zhou Y., Huang K. On simplified deformation gradient theory of modified gradient elastic Kirchhoff–-Love plate. European Journal of Mechanics / A Solids, 2023, vol. 100, art. 105014. DOI: 10.1016/j.euromechsol.2023.105014
  9. Гельфанд, И.М., Шилов, Г.Е., Обобщенные функции и действия над ними. Москва, Добросвет, 2000. [Gelfand, I.M., Shilov, G.E., Obobshchennye funktsii i deystviya nad nimi = Generalized functions and actions on them. Moscow, Dobrosvet, 2000. (in Russian)]
  10. Шилов, Г.Е., Математический анализ. Второй специальный курс. Москва, Изд-во МГУ, 1984. [Shilov, G.E., Matematicheskiy analiz. Vtoroy spetsial'nyy kurs = Mathematical analysis. The second special course. Moscow, Publishing House of Moscow State University, 1984. (in Russian)]
  11. Владимиров, В.С., Жаринов, В.В., Уравнения математической физики. Москва, Физико-математическая литература, 2000. [Vladimirov, V.S., Zharinov, V.V., Uravneniya matematicheskoy fiziki = Equations of mathematical physics. Moscow, Physical and mathematical literature, 2000. (in Russian)]
  12. Шевченко, В.П., Интегральные преобразования в теории пластин и оболочек. Донецк, Донецкий государственный университет, 1977. [Shevchenko, V.P., Integral'nye preobrazovaniya v teorii plastin i obolochek = Integral transformations in the theory of plates and shells. Donetsk, Donetsk State University, 1977. (in Russian)]
  13. Великанов, П.Г., Альтернативные методы получения фундаментальных решений дифференциальных уравнений с частными производными для изотропных материалов. Часть I. Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества, 2024, т. 21, № 4, с. 6–22. [Velikanov, P.G., Alternative methods for obtaining fundamental solutions of partial differential equations for isotropic materials. Part I. Ekologicheskiy vestnik nauchnykh tsentrov Chernomorskogo ekonomicheskogo sotrudnichestva = Ecological Bulletin of the scientific centers of the Black Sea Economic Cooperation, 2024, vol. 21, no. 4, pp. 6–22. (in Russian)] EDN: DMWKQC DOI: 10.31429/vestnik-21-4-6-22
  14. Великанов, П.Г., Альтернативные методы получения фундаментальных решений дифференциальных уравнений и систем в частных производных для изо- и ортотропных материалов. Часть II. Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества, 2025, т. 22, № 2, с. 15–30. [Velikanov, P.G., Alternative methods for obtaining fundamental solutions of differential equations and partial differential systems for isotropic and orthotropic materials. Part II. Ekologicheskiy vestnik nauchnykh tsentrov Chernomorskogo ekonomicheskogo sotrudnichestva = Ecological Bulletin of Research Centers of the Black Sea Economic Cooperation, 2025, vol. 22, no. 2, pp. 15–30. (in Russian)] EDN: SBDBCP DOI: 10.31429/vestnik-22-2-15-30
  15. Хермандер, Л., Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Т. 1. Теория распределений и анализ Фурье. Москва, Мир, 1986. [Hermander, L., Analiz lineynykh differentsial'nykh operatorov s chastnymi proizvodnymi. T. 1. Teoriya raspredeleniy i analiz Fur'e = Analysis of linear partial differential operators. Vol. 1. Theory of distributions and Fourier analysis. Moscow, Mir, 1986. (in Russian)]
  16. Shanz, M., Antes, H., A boundary integral formulation for the dynamic behavior of a Timoshenko beam. Electronic Journal of Boundary Elements, 2002, vol. BETEQ 2001, no. 3, pp. 348–359.
  17. Артюхин, Ю.П., Грибов, А.П., Решение задач нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек методом граничных элементов. Казань, Фэн, 2002. [Artyukhin, Yu.P., Gribov, A.P., Solving problems of nonlinear deformation of plates and flat shells by the method of boundary elements. Kazan, Feng, 2002. (in Russian)]
  18. Грибов, А.П., Великанов, П.Г., Применение преобразования Фурье для получения фундаментального решения задачи изгиба ортотропной пластины. В Математическое моделирование и краевые задачи: Труды Всероссийской научной конференции, 2004, ч. 3, с. 67–71. [Gribov, A.P., Velikanov, P.G., Application of the Fourier transform to obtain a fundamental solution to the problem of orthotropic plate bending. In Matematicheskoe modelirovanie i kraevye zadachi: Trudy Vserossiyskoy nauchnoy konferentsii = Mathematical modeling and boundary value problems: Proceedings of the All-Russian Scientific Conference, 2004, pt. 3, pp. 67–71. (in Russian)]
  19. Великанов, П.Г., Исследование термомеханического изгиба длинной пологой цилиндрической панели методом граничных интегральных уравнений. В Труды 3-го Международного форума "Актуальные проблемы современной науки. Естественные науки". Ч. 3. Самара: Изд-во СамГТУ, 2007, с. 15–19. [Velikanov, P.G., Investigation of thermomechanical bending of a long flat cylindrical panel by the method of boundary integral equations. In Trudy 3-go Mezhdunarodnogo foruma "Aktual'nye problemy sovremennoy nauki. Estestvennye nauki". Ch. 3 = Proc. of the 3rd International Forum "Actual problems of modern Science. Natural Sciences". Pt. 3. Samara, Publishing House of SamSTU, 2007, pp. 15–19. (in Russian)]
  20. Великанов, П.Г., Метод граничных интегральных уравнений для решения задач изгиба изотропных пластин, лежащих на сложном двухпараметрическом упругом основании. Известия Саратовского университета. Сер. Математика. Механика. Информатика, 2008, Т. 8. вып. 1, с. 36–42. [Velikanov, P.G., The method of boundary integral equations for solving bending problems of isotropic plates lying on a complex two-parameter elastic base. Izvestiya Saratovskogo universiteta. Ser. Matematika. Mekhanika. Informatika = Proc. of the Saratov University. Ser. Mathematics. Mechanics. Informatics, 2008, vol. 8, iss. 1, pp. 36–42. (in Russian)]
  21. Великанов, П.Г., Куканов, Н.И., Халитова, Д.М., Нелинейное деформирование цилиндрической панели ступенчато-переменной жесткости на упругом основании методом граничных элементов. В Всероссийская научная конференция с международным участием "Актуальные проблемы механики сплошной среды – 2020", 2020, с. 111–115. [Velikanov, P.G., Kukanov, N.I., Khalitova, D.M., Nonlinear deformation of a cylindrical panel of step-variable stiffness on an elastic base by the method of boundary elements. In Vserossiyskaya nauchnaya konferentsiya s mezhdunarodnym uchastiem "Aktual'nye problemy mekhaniki sploshnoy sredy – 2020" = All-Russian scientific conference with international participation "Actual problems of continuum mechanics – 2020", 2020, pp. 111–115. (in Russian)]
  22. Великанов, П.Г., Артюхин, Ю.П., Куканов, Н.И., Изгиб анизотропной пластины методом граничных элементов. В сб. Актуальные проблемы механики сплошных сред, 2020, с. 105–111. [Velikanov, P.G., Artyukhin, Yu.P., Kukanov, N.I., Anisotropic plate bending by the boundary elements method. In Aktual'nye problemy mekhaniki sploshnykh sred = Actual problems of continuum mechanics, 2020, pp. 105–111. (in Russian)]
  23. Великанов, П.Г., Куканов, Н.И., Халитова, Д.М., Использование непрямого метода граничных элементов для расчета изотропных пластин на упругом основании Винклера и Пастернака–Власова. Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия, 2021, т. 27, № 2, с. 33–47. [Velikanov, P.G., Kukanov, N.I., Khalitova, D.M., The use of the indirect boundary element method for the calculation of isotropic plates on an elastic base of Winkler and Pasternak–Vlasov. Vestnik Samarskogo universiteta. Estestvennonauchnaya seriya = Bulletin of Samara University. Natural Science Series, 2021, vol. 27, no. 2, pp. 33–47. (in Russian)]
  24. Великанов, П.Г., Халитова, Д.М., Решение задач нелинейного деформирования анизотропных пластин и оболочек методом граничных элементов. Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия, 2021, т. 27, № 2, с. 48–61. [Velikanov, P.G., Khalitova, D.M., Solving problems of nonlinear deformation of anisotropic plates and shells by the boundary element method. Vestnik Samarskogo universiteta. Estestvennonauchnaya seriya = Bulletin of Samara University. Natural Science Series, 2021, vol. 27, no. 2, pp. 48–61. (in Russian)]
  25. Великанов, П.Г., Артюхин, Ю.П., Общая теория ортотропных оболочек. Часть I. Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия, 2022, т. 28, № 1–2, с. 46–54. [Velikanov, P.G., Artyukhin, Yu.P., General theory of orthotropic shells. Part I. Vestnik Samarskogo universiteta. Estestvennonauchnaya seriya = Bulletin of Samara University. Natural Science series, 2022, vol. 28, no. 1–2, pp. 46–54. (in Russian)]
  26. Великанов, П.Г., Артюхин, Ю.П., Общая теория ортотропных оболочек. Часть II. Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия, 2022, т. 28, № 3–4, с. 40–52. [Velikanov, P.G., Artyukhin, Yu.P., General theory of orthotropic shells. Part II. Vestnik Samarskogo universiteta. Estestvennonauchnaya seriya = Bulletin of Samara University. Natural Science series, 2022, vol. 28, no. 3–4, pp. 40–52. (in Russian)]
  27. Великанов, П.Г., Артюхин, Ю.П., Математические аналогии для решения задач прочности, устойчивости и колебаний ортотропных пластин и оболочек. Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества, 2022, т. 19, № 3, с. 47–54. [Velikanov, P.G., Artyukhin, Yu.P., Mathematical analogies for solving problems of strength, stability and vibrations of orthotropic plates and shells. Ekologicheskiy vestnik nauchnykh tsentrov Chernomorskogo ekonomicheskogo sotrudnichestva = Ecological Bulletin of the scientific centers of the Black Sea Economic Cooperation, 2022, vol. 19, no. 3, pp. 47–54. (in Russian)] EDN: JYGZJI DOI: 10.31429/vestnik-19-3-47-54
  28. Великанова, Н.П., Великанов, П.Г., Проверка утверждения академика Новожилова Г.В. о влиянии погрешности в определении напряжений на величину погрешности в определении ресурса на примере основных деталей двигателя. Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества, 2022, т. 19, № 4, с. 48–56. [Velikanova, N.P., Velikanov, P.G., Verification of the statement of academician Novozhilov G.V. on the influence of the error in determining stresses on the magnitude of the error in determining the resource on the example of the main engine parts. Ekologicheskiy vestnik nauchnykh tsentrov Chernomorskogo ekonomicheskogo sotrudnichestva = Ecological Bulletin of the scientific centers of the Black Sea Economic Cooperation, 2022, vol. 19, no. 4, pp. 48–56. (in Russian)]
  29. Velikanov, P., Solution of contact problems of anisotropic plates bending on an elastic base using the compensating loads method. E3S Web of Conferences, 2023, vol. 402 (International Scientific Siberian Transport Forum – TransSiberia 2023), art. 11010. DOI: 10.1051/e3sconf/202340211010
  30. Великанов, П.Г., Артюхин, Ю.П., Исследования по динамике рамных конструкций. Геосистемы переходных зон, 2023, т. 7, № 2, с. 180–195. [Velikanov, P.G., Artyukhin, Yu.P., Research on the dynamics of frame structures. Geosistemy perekhodnykh zon = Geosystems of transition zones, 2023, vol. 7, iss. 2, pp. 180–195. (in Russian)]
  31. Великанов, П.Г., Артюхин, Ю.П., Исследование по динамике многоэтажных зданий. Геосистемы переходных зон, 2023, т. 7, № 3, с. 304–315. [Velikanov, P.G., Artyukhin, Yu.P., Research on the dynamics of multi-storey buildings. Geosistemy perekhodnykh zon = Geosystems of transition zones, 2023, vol. 7, no. 3, pp. 304-315. (in Russian)]
  32. Великанов, П.Г., Математические аналоги и аналогии для решения задач методом граничных элементов. Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества, 2024, т. 21, № 1, с. 6–20. [Velikanov, P.G., Mathematical analogies and analogies for solving problems by the boundary element method. Ekologicheskiy vestnik nauchnykh tsentrov Chernomorskogo ekonomicheskogo sotrudnichestva = Ecological Bulletin of the scientific centers of the Black Sea Economic Cooperation, 2024, vol. 21, no. 1, pp. 6–20. (in Russian)] EDN: WRVRQN. DOI: 10.31429/vestnik-21-1-6-20
  33. Великанов, П.Г., Артюхин, Ю.П., Исследование композитов в виде слоистых ортотропных оболочек. Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества, 2024, т. 21, № 2, с. 23–34. [Velikanov, P.G., Artyukhin, Yu.P., Investigation of composites in the form of layered orthotropic shells. Ekologicheskiy vestnik nauchnykh tsentrov Chernomorskogo ekonomicheskogo sotrudnichestva = Ecological Bulletin of the scientific centers of the Black Sea Economic Cooperation, 2024, vol. 21, no. 2, pp. 23–34. (in Russian)]
  34. Великанов, П.Г., Артюхин, Ю.П., Исследование композитов с помощью уравнений общей теории ортотропных оболочек в комплексной форме. Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества, 2024, т. 21, № 3, с. 6–15. [Velikanov, P.G., Artyukhin, Yu.P., Investigation of composites using the equations of the general theory of orthotropic shells in a complex form. Ekologicheskiy vestnik nauchnykh tsentrov Chernomorskogo ekonomicheskogo sotrudnichestva = Ecological Bulletin of the scientific centers of the Black Sea Economic Cooperation, 2024, vol. 21, no. 3, pp. 6–15. (in Russian)]
  35. Артюхин, Ю.П., Гурьянов, Н.Г., Котляр, Л.М., Система Математика 4.0 и ее приложения в механике. Казань, Казанское математическое общество, Изд-во КамПИ, 2002. [Artyukhin, Y.P., Guryanov, N.G., Kotlyar, L.M., Sistema Matematika 4.0 i ee prilozheniya v mekhanike = The Mathematics 4.0 system and its applications in mechanics. Kazan, Kazan Mathematical Society, Publishing House of CamPI, 2002. (in Russian)]
  36. Великанов, П.Г., Основы работы в системе Mathematiсa. Казань, Изд-во Казанского гос. техн. ун-та, 2010. [Velikanov, P.G., Osnovy raboty v sisteme Mathematisa = Fundamentals of work in the Mathematics system. Kazan, Publishing House of Kazan State Technical University, 2010. (in Russian)]

Скачивания

Данные по скачиваниям пока не доступны.

Загрузки

Выпуск

Том 23 (2026) № 1

Страницы

8-21

Раздел

Механика

Даты

Поступила в редакцию

16 ноября 2025

Принята к публикации

2 марта 2026

Публикация

24 марта 2026

Как цитировать

[1]
Великанов, П.Г., Операционный и безоперационный методы получения фундаментальных решений дифференциальных уравнений в частных производных для нанопластин. Часть III. Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества, 2026, т. 23, № 1, pp. 8–21. DOI: 10.31429/vestnik-23-1-8-21

Лицензия

Copyright (c) 2026 Великанов П.Г.

Лицензия Creative Commons

Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.

Похожие статьи

1-10 из 550

Вы также можете начать расширенный поиск похожих статей для этой статьи.

Наиболее читаемые статьи этого автора (авторов)

1 2 > >>