Альтернативные методы получения фундаментальных решений дифференциальных уравнений с частными производными для изотропных материалов. Часть I

Авторы

  • Великанов П.Г. Казанский национальный исследовательский технический университет им. А.Н. Туполева - КАИ, Казань, Russian Federation ORCID 0000-0003-0845-2880

УДК

УДК 531.39

DOI:

https://doi.org/10.31429/vestnik-21-4-6-22

Аннотация

Одним из наиболее успешных современных численных методов расчета конструкций является метод граничных элементов (МГЭ). Является актуальным дальнейшее его развитие в различных модификациях для решения задач, основанных на применении предварительно вычисленных точных фундаментальных решений. В статье с помощью альтернативных методов (метод функционального анализа, метод Родена, экспериментально-теоретический метод) удалось существенно упростить методику вычисления фундаментальных решений без необходимости предварительного глубокого изучения математической теории обобщенных функций и без привлечения аппарата операционного исчисления. Отмеченная теория и аппарат часто воспринимаются исследователями как трудные для понимания, что порой ограничивает область применения МГЭ. В статье показано, как с помощью альтернативных методов можно значительно быстрее и с меньшими усилиями получить фундаментальные решения задач изгиба изотропных пластин (в том числе на упругих основаниях Винклера и Пастернака--Власова) и мембран, а также фундаментальные решения для двух- и трехмерных гармонических, бигармонических и полигармонических дифференциальных уравнений.

Ключевые слова:

фундаментальные решения, обобщенные функции, метод функционального анализа, метод Родена, экспериментально-теоретический метод

Финансирование

Исследование не имело спонсорской поддержки.

Информация об авторе

Петр Геннадьевич Великанов

канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры реактивных двигателей и энергетических установок Казанского национального исследовательского технического университета им. А.Н. Туполева-КАИ

e-mail: pvelikanov@mail.ru

Библиографические ссылки

  1. Гельфанд, И.М., Шилов, Г.Е., Обобщенные функции и действия над ними. Москва, Добросвет, 2000. [Gelfand I.M., Shilov G.E., Obobshchennye funktsii i deystviya nad nimi = Generalized functions and actions on them. Moscow, Dobrosvet, 2000. (in Russian)]
  2. Шилов, Г.Е., Математический анализ. Второй специальный курс. Москва, Изд-во МГУ, 1984. [Shilov, G.E., Matematicheskiy analiz. Vtoroy spetsial'nyy kurs = Mathematical analysis. The second special course. Moscow, Publishing House of Moscow State University, 1984. (in Russian)]
  3. Владимиров, В.С., Жаринов, В.В., Уравнения математической физики. Москва, Физико-математическая литература, 2000. [Vladimirov, V.S., Zharinov, V.V., Uravneniya matematicheskoy fiziki = Equations of mathematical physics. Moscow, Physical and mathematical literature, 2000. (in Russian)]
  4. Шевченко, В.П., Интегральные преобразования в теории пластин и оболочек. Донецк, Донецкий государственный университет, 1977. [Shevchenko, V.P., Integral'nye preobrazovaniya v teorii plastin i obolochek = Integral transformations in the theory of plates and shells. Donetsk, Donetsk State University, 1977. (in Russian)]
  5. Хермандер, Л., Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Т. 1. Теория распределений и анализ Фурье. Москва, Мир, 1986. [Hermander, L., Analiz lineynykh differentsial'nykh operatorov s chastnymi proizvodnymi. T. 1. Teoriya raspredeleniy i analiz Fur'e = Analysis of linear partial differential operators. Vol. 1. Theory of distributions and Fourier analysis. Moscow, Mir, 1986. (in Russian)]
  6. Shanz, M., Antes, H., A boundary integral formulation for the dynamic behavior of a Timoshenko beam. Electronic Journal of Boundary Elements, 2002, vol. 3, pp. 348–359.
  7. Артюхин, Ю.П., Грибов, А.П., Решение задач нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек методом граничных элементов. Казань, Фэн, 2002. [Artyukhin, Yu.P., Gribov, A.P., Reshenie zadach nelineynogo deformirovaniya plastin i pologikh obolochek metodom granichnykh elementov = Solving problems of nonlinear deformation of plates and flat shells by the method of boundary elements. Kazan, Feng, 2002. (in Russian)]
  8. Грибов, А.П., Великанов, П.Г., Применение преобразования Фурье для получения фундаментального решения задачи изгиба ортотропной пластины. В Математическое моделирование и краевые задачи: Труды Всероссийской научной конференции, 2004, ч. 3, с. 67–71. [Gribov, A.P., Velikanov, P.G., Application of the Fourier transform to obtain a fundamental solution to the problem of orthotropic plate bending. In Matematicheskoe modelirovanie i kraevye zadachi: Trudy Vserossiyskoy nauchnoy konferentsii = Mathematical modeling and boundary value problems: Proc. of the All-Russian Scientific Conference, 2004, pt. 3, pp. 67–71. (in Russian)]
  9. Великанов, П.Г., Исследование термомеханического изгиба длинной пологой цилиндрической панели методом граничных интегральных уравнений. В Труды 3-го Международного форума. "Актуальные проблемы современной науки. Естественные науки". Ч. 3. Самара, Изд-во СамГТУ, 2007, с. 15–19. [Velikanov, P.G., Investigation of thermomechanical bending of a long flat cylindrical panel by the method of boundary integral equations. In Trudy 3-go Mezhdunarodnogo foruma. "Aktual'nye problemy sovremennoy nauki. Estestvennye nauki". Ch. 3 = Proc. of the 3rd Int. Forum "Actual problems of modern Science. Natural Sciences". Pt. 3. Samara, Publishing House of SamSTU, 2007, pp. 15–19. (in Russian)]
  10. Кацикаделис, Дж.Т., Граничные элементы: Теория и приложения. Москва, Изд-во Ассоциации строительных вузов, 2007. [Katsikadelis J.T., Granichnye elementy: Teoriya i prilozheniya = Boundary elements: Theory and applications. Moscow, Publishing House of the Association of Construction Universities, 2007. (in Russian)]
  11. Великанов, П.Г., Метод граничных интегральных уравнений для решения задач изгиба изотропных пластин, лежащих на сложном двухпараметрическом упругом основании. Известия Саратовского университета. Сер. Математика. Механика. Информатика, 2008, т. 8, вып. 1, с. 36–42. [Velikanov, P.G., The method of boundary integral equations for solving bending problems of isotropic plates lying on a complex two-parameter elastic base. Izvestiya Saratovskogo universiteta. Seriya Matematika. Mekhanika. Informatika = Proc. of the Saratov University. Series Mathematics. Mechanics. Informatics, 2008, vol. 8, iss. 1, pp. 36–42. (in Russian)]
  12. Великанов, П.Г., Куканов, Н.И., Халитова, Д.М., Нелинейное деформирование цилиндрической панели ступенчато-переменной жесткости на упругом основании методом граничных элементов. В Всероссийская научная конференция с международным участием "Актуальные проблемы механики сплошной среды – 2020", 2020, с. 111–115. [Velikanov, P.G., Kukanov, N.I., Khalitova, D.M., Nonlinear deformation of a cylindrical panel of step-variable stiffness on an elastic base by the method of boundary elements. In Vserossiyskaya nauchnaya konferentsiya s mezhdunarodnym uchastiem "Aktual'nye problemy mekhaniki sploshnoy sredy – 2020" = All-Russian scientific conference with international participation "Actual problems of continuum mechanics – 2020", 2020, pp. 111–115. (in Russian)]
  13. Великанов, П.Г., Артюхин, Ю.П., Куканов, Н.И., Изгиб анизотропной пластины методом граничных элементов. Актуальные проблемы механики сплошных сред, 2020, с. 105–111. [Velikanov, P.G., Artyukhin, Yu.P., Kukanov, N.I., Anisotropic plate bending by the boundary elements method. Aktual'nye problemy mekhaniki sploshnykh sred = Actual problems of continuum mechanics, 2020. pp.[105–111. (in Russian)]
  14. Великанов, П.Г., Куканов, Н.И., Халитова, Д.М., Использование непрямого метода граничных элементов для расчета изотропных пластин на упругом основании Винклера и Пастернака-Власова. Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия, 2021, т. 27, № 2, с. 33–47. [Velikanov, P.G., Kukanov, N.I., Khalitova, D.M., The use of the indirect boundary element method for the calculation of isotropic plates on an elastic base of Winkler and Pasternak-Vlasov. Vestnik Samarskogo universiteta. Estestvennonauchnaya seriya = Bulletin of Samara University. Natural Science Series, 2021, vol. 27, no. 2, pp. 33–47. (in Russian)]
  15. Великанов, П.Г., Халитова, Д.М., Решение задач нелинейного деформирования анизотропных пластин и оболочек методом граничных элементов. Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия, 2021, т. 27, № 2, с. 48–61. [Velikanov, P.G., Khalitova, D.M., Solving problems of nonlinear deformation of anisotropic plates and shells by the boundary element method. Vestnik Samarskogo universiteta. Estestvennonauchnaya seriya = Bulletin of Samara University. Natural Science Series, 2021, vol. 27, no. 2, pp. 48–61. (in Russian)]
  16. Великанов, П.Г., Артюхин, Ю.П., Общая теория ортотропных оболочек. Часть I. Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия, 2022, т. 28, № 1–2, с. 46–54. [Velikanov, P.G., Artyukhin, Yu.P., General theory of orthotropic shells. Part I. Vestnik Samarskogo universiteta. Estestvennonauchnaya seriya = Bulletin of Samara University. Natural Science series, 2022, vol. 28, no. 1–2, pp. 46–54. (in Russian)]
  17. Великанов, П.Г., Артюхин, Ю.П., Общая теория ортотропных оболочек. Часть II. Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия, 2022, т. 28, № 3–4, С. 40–52. [Velikanov, P.G., Artyukhin, Yu.P., General theory of orthotropic shells. Part II. Vestnik Samarskogo universiteta. Estestvennonauchnaya seriya = Bulletin of Samara University. Natural Science series, 2022, vol. 28, no. 3–4, pp. 40–52. (in Russian)]
  18. Великанов, П.Г., Артюхин, Ю.П., Математические аналогии для решения задач прочности, устойчивости и колебаний ортотропных пластин и оболочек. Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества, 2022, т. 19, № 3, с. 47–54. [Velikanov, P.G., Artyukhin, Yu.P., Mathematical analogies for solving problems of strength, stability and vibrations of orthotropic plates and shells. Ekologicheskiy vestnik nauchnykh tsentrov Chernomorskogo ekonomicheskogo sotrudnichestva = Ecological Bulletin of the scientific centers of the Black Sea Economic Cooperation, 2022, vol. 19, no. 3, pp. 47–54. (in Russian)] EDN: JYGZJI DOI: 10.31429/vestnik-19-3-47-54
  19. Великанова, Н.П., Великанов, П.Г., Проверка утверждения академика Новожилова Г.В. о влиянии погрешности в определении напряжений на величину погрешности в определении ресурса на примере основных деталей двигателя. Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества, 2022, т. 19, № 4, с. 48–56. [Velikanova, N.P., Velikanov, P.G., Verification of the statement of academician Novozhilov G.V. on the influence of the error in determining stresses on the magnitude of the error in determining the resource on the example of the main engine parts. Ekologicheskiy vestnik nauchnykh tsentrov Chernomorskogo ekonomicheskogo sotrudnichestva = Ecological Bulletin of the scientific centers of the Black Sea Economic Cooperation, 2022, vol. 19, no. 4, pp. 48–56. (in Russian)] EDN: JZYKZX DOI: 10.31429/vestnik-19-4-48-56
  20. Velikanov, P., Solution of contact problems of anisotropic plates bending on an elastic base using the compensating loads method. In E3S Web of Conferences, 2023, vol. 402 (International Scientific Siberian Transport Forum – TransSiberia 2023), art. 11010. DOI: 10.1051/e3sconf/202340211010
  21. Великанов, П.Г., Артюхин, Ю.П., Исследования по динамике рамных конструкций. Геосистемы переходных зон, 2023, т. 7, no. 2, с. 180–195. [Velikanov, P.G., Artyukhin, Yu.P., Research on the dynamics of frame structures. Geosistemy perekhodnykh zon = Geosystems of transition zones, 2023, vol. 7, no. 2, pp. 180–195. (in Russian)]
  22. Великанов, П.Г., Артюхин, Ю.П., Исследование по динамике многоэтажных зданий. Геосистемы переходных зон, 2023, т. 7, № 3, с. 304–315. [Velikanov, P.G., Artyukhin, Yu.P., Research on the dynamics of multi-storey buildings. Geosistemy perekhodnykh zon = Geosystems of transition zones, 2023, vol. 7, no. 3, pp. 304–315. (in Russian)]
  23. Великанов, П.Г., Математические аналоги и аналогии для решения задач методом граничных элементов. Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества, 2024, т. 21, № 1, с. 6–20. [Velikanov, P.G., Mathematical analogies and analogies for solving problems by the boundary element method. Ekologicheskiy vestnik nauchnykh tsentrov Chernomorskogo ekonomicheskogo sotrudnichestva = Ecological Bulletin of the scientific centers of the Black Sea Economic Cooperation, 2024. vol. 21, no. 1. pp. 6–20. (in Russian)] EDN: WRVRQN DOI: 10.31429/vestnik-21-1-6-20
  24. Великанов, П.Г., Артюхин, Ю.П., Исследование композитов в виде слоистых ортотропных оболочек. Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества, 2024, т. 21, № 2, с. 23–34. [Velikanov, P.G., Artyukhin, Yu.P., Investigation of composites in the form of layered orthotropic shells. Ekologicheskiy vestnik nauchnykh tsentrov Chernomorskogo ekonomicheskogo sotrudnichestva = Ecological Bulletin of the scientific centers of the Black Sea Economic Cooperation, 2024, vol. 21, no. 2, pp. 23–34. (in Russian)] EDN: YPNJFT DOI: 10.31429/vestnik-21-2-23-34
  25. Великанов П.Г., Артюхин Ю.П., Исследование композитов с помощью уравнений общей теории ортотропных оболочек в комплексной форме. Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества, 2024, т. 21, № 3, с. 6–16. [Velikanov, P.G., Artyukhin, Yu.P. Investigation of composites using the equations of the general theory of orthotropic shells in a complex form. Ekologicheskiy vestnik nauchnykh tsentrov Chernomorskogo ekonomicheskogo sotrudnichestva = Ecological Bulletin of the scientific centers of the Black Sea Economic Cooperation, 2024, vol. 21, no. 3, pp. 6–16. (in Russian)] EDN: ERCRUG DOI: 10.31429/vestnik-21-3-6-15
  26. Бронштейн, И.Н. Семендяев, К.А., Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. Москва, Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. [Bronstein, I.N., Semendyaev, K.A., Spravochnik po matematike dlya inzhenerov i uchashchikhsya vuzov = Handbook of Mathematics for engineers and university students. Moscow, Nauka, Gl. ed. phys.-mat. lit., 1986. (in Russian)]
  27. Коноплев, Ю.Г., Шалабанов, А.К., Метод голографической интерферометрии в задачах о действии локальных нагрузок на пластины и оболочки. Исследования по теории пластин и оболочек, 1976, вып. 12. С. 27–37. [Konoplev, Yu.G., Shalabanov, A.K., Method of holographic interferometry in problems of the effect of local loads on plates and shells. Issledovaniya po teorii plastin i obolochek = Research on the theory of plates and shells, 1976, iss. 12. pp. 27–37. (in Russian)]
  28. Шалабанов, А.К., Новые соотношения теории тонких оболочек. Казань, НОУ ВПО "Академия управления "ТИСБИ"", 2010. [Shalabanov, A.K., Novye sootnosheniya teorii tonkikh obolochek = New relations of the theory of thin shells. Kazan, NOU VPO "Academy of Management "TISBI"", 2010. (in Russian)]
  29. Shalabanov, A.K., Three-exposure method of F1 hologram interferometry in mechanics of thin-walld spatial structuries. In Proc. SPIE, 1995, vol. 2545, p. 327–342.
  30. Лукасевич, С., Локальные нагрузки в пластинах и оболочках. Москва, Мир, 1982. [Lukasevich, S., Lokal'nye nagruzki v plastinakh i obolochkakh = Local loads in plates and shells. Moscow, Mir, 1982. (in Russian)]
  31. Артюхин, Ю.П., Гурьянов, Н.Г., Котляр, Л.М., Система Математика 4.0 и ее приложения в механике. Казань, Казанское математическое общество, Изд-во КамПИ, 2002. [Artyukhin, Y.P., Guryanov, N.G., Kotlyar, L.M., Sistema Matematika 4.0 i ee prilozheniya v mekhanike = The Mathematics 4.0 system and its applications in mechanics. Kazan, Kazan Mathematical Society, Publishing House of CamPI, 2002. (in Russian)]
  32. Великанов П.Г., Основы работы в системе Mathematiсa. Казань, Изд-во Казанского гос. техн. ун-та, 2010. [Velikanov P.G., Osnovy raboty v sisteme Mathematisa = Fundamentals of work in the Mathematics system. Kazan, Publishing House of Kazan State Technical University, 2010. (in Russian)]
  33. Тимошенко, С.П., Войновский-Кригер, С., Пластинки и оболочки. Москва, Наука, 1966. [Timoshenko, S.P., Voinovsky-Krieger, S., Plastinki i obolochki = Plates and shells. Moscow, Nauka, 1966. (in Russian)]
  34. Полянин, А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. Москва, \mbox{ФИЗМАТЛИТ}, 2001. [Polyanin, A.D. Spravochnik po lineynym uravneniyam matematicheskoy fiziki = Handbook of linear equations of mathematical physics. Moscow, FIZMATLIT, 2001. (in Russian)]
  35. Кончковский, З., Плиты. Статические расчеты. Москва, Стройиздат, 1984. [Konchkovsky, Z., Plity. Staticheskie raschety = Plates. Static calculations. Moscow, Stroyizdat, 1984. (in Russian)]
  36. Абрамовиц, М., Стегун, Ш.А., Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами. Москва, Наука, 1979. [Abramovits, M., Stegun, S.A., Spravochnik po spetsial'nym funktsiyam s formulami, grafikami i tablitsami = Handbook of special functions with formulas, graphs and tables. Moscow, Nauka, 1979. (in Russian)]
  37. Савельев, Л.М., Теория пластин и оболочек. Самара, СГАУ, 2013. [Savelyev, L.M., Teoriya plastin i obolochek = Theory of plates and shells. Samara, SSAU, 2013. (in Russian)]
  38. Саченков, А.В., Теоретико-экспериментальный метод исследования устойчивости пластин и оболочек. Исследования по теории пластин и оболочек, 1970. С. 391–433. [Sachenkov, A.V., Theoretical and experimental method for studying the stability of plates and shells. Issledovaniya po teorii plastin i obolochek = Studies on the theory of plates and shells, 1970. pp. 391–433. (in Russian)]
  39. Коноплев, Ю.Г., Шалабанов, А.К., Метод голографической интерферометрии в задачах о действии локальных нагрузок на пластины и оболочки. Исследования по теории пластин и оболочек, 1976, вып. 12. С. 27–37. [Konoplev, Yu.G., Shalabanov, A.K., The method of holographic interferometry in problems of the effect of local loads on plates and shells. Issledovaniya po teorii plastin i obolochek = Studies on the Theory of plates and shells, 1976, vol. 12. pp. 27–37. (in Russian)]
  40. Коноплев, Ю.Г., Исследование больших прогибов круглых пластин при локальных нагрузках. Исследования по теории пластин и оболочек, 1965, вып. 3, с. 81–90. [Konoplev, Yu.G., Investigation of large deflections of round plates under local loads. Issledovaniya po teorii plastin i obolochek = Research on the theory of plates and shells, 1965, iss. 3, pp. 81–90. (in Russian)]
  41. Пономарев, С.Д., Бидерман, В.Л., Расчеты на прочность в машиностроении, т. II. Москва, Машгиз, 1958. [Ponomarev S.D., Biderman V.L., Raschety na prochnost' v mashinostroenii, t. II = Strength calculations in mechanical engineering, vol. II. Moscow, Mashgiz, 1958. (in Russian)]

Загрузки

Выпуск

2024. Том 21. № 4

Раздел

Механика

Страницы

6-22

Отправлено

2024-08-26

Опубликовано

2024-12-20

Как цитировать

Великанов П.Г. Альтернативные методы получения фундаментальных решений дифференциальных уравнений с частными производными для изотропных материалов. Часть I // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2024. Т. 21, №4. С. 6-22. DOI: https://doi.org/10.31429/vestnik-21-4-6-22

Copyright (c) 2024 Великанов П.Г.

Лицензия Creative Commons

Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.