Локальная теорема существования решения обобщённого условия Лапласа

Аннотация

В работе рассматривается обобщённое условие Лапласа, определяющее равновесные формы висящих капель, в том случае, когда принимается во внимание толщина промежуточного слоя. Главная часть дифференциального оператора второго порядка в таком случае, в отличие от классического, представляет собой нелинейный оператор. Для построения ряда, мажорирующего ряд, определяющий решение обобщённого условия Лапласа, в работе конструируется нелинейный дифференциальный оператор первого порядка с аналитическими коэффициентами. С помощью теоремы Шаудера для вполне непрерывных операторов доказывается локальное существование решения этого уравнения в классе аналитических функций. Устанавливается, что построенное решение является положительным. Это позволяет доказать, что ряд, формально определяемый как решение обобщённого условия Лапласа, мажорируется построенным рядом. Доказанная теорема позволяет конструировать сколь угодно точные приближения форм равновесных капель с заданной наперёд высотой. Без существенных изменений метод применим к исследованию сидящих капель.