Функционал гауссовой кривизны в классе выпуклых поверхностей Лиувилля с краем
УДК
519.7DOI:
https://doi.org/10.31429/vestnik-19-3-25-37Аннотация
В работе рассматривается класс допустимых гладких выпуклых поверхностей Лиувилля с краем. В ней выводится нелинейное уравнение Бельтрами, решения которого определяют переход от произвольной изотермической параметризации к полугеодезической. С использованием представлений геодезических линий поверхностей Лиувилля устанавливается, что в случае поверхностей Лиувилля оно приводится к линейному уравнению. С использованием известных явных представлений геодезических линий поверхностей Лиувилля конструируется топологическое отображение на область, определяемую распределением геодезических линий поверхности. Доказывается, что оно является решением найденного уравнения Бельтрами и осуществляет переход от изотермической параметризации поверхности к полугеодезической. С использованием теоремы о разрешимости задачи Дирихле для уравнения Монжа-Ампера, теоремы о существовании локальной полугеодезической параметризации для любой гладкой поверхности с невырожденной первой квадратичной формой, а также свойств гомеоморфизмов, являющихся решениями полученного уравнения Бельтрами, устанавливается, что класс допустимых поверхностей не пуст. На классе допустимых поверхностей по аналогии с осесимметрическим случаем определяется функционал Гауссовой кривизны. Доказывается существование специальных вариаций допустимых поверхностей, не выводящих из класса допустимых, на которых вариация функционала определяется Гауссовой кривизной варьируемой поверхности.
Ключевые слова:
выпуклая поверхность Лиувилля с краем, изотермическая параметризация, глобальная полугеодезическая параметризация, локальная полугеодезическая параметризация, уравнение Бельтрами, квазиконформные отображения, задача Дирихле, уравнение Монжа-Ампера, гауссова кривизна, функционал гауссовой кривизныБиблиографические ссылки
- Shcherbakov, E., Equilibrium state of a pendant drop with inter-phase layer. Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen, 2012, vol. 31, с. 1–15. DOI: 10.4171/ZAA
- Shcherbakov, E., Shcherbakov, M., On equilibrium of the pendant drop taking into account the flexural rigidity of intermediate layer. Doklady Physics, 2012, vol. 53, iss. 6, pp. 243–244.
- Shcherbakov, E.A., Shcherbakov, M.E., On equilibrium of pendant drop its flexural rigidity of intermediate layer being accounted for. Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества, 2016, №3, с. 87–94. [Shcherbakov, E.A., Shcherbakov, M.E., On equilibrium of pendant drop its flexural rigidity of intermediate layer being accounted for. Ekologicheskiy vestnik nauchnykh tsentrov Chernomorskogo ekonomicheskogo sotrudnichestva = Ecological Bulletin of Research Centers of the Black Sea Economic Cooperation, 2016, no. 3, pp. 87–94.]
- Финн, Р., Равновесные капиллярные поверхности. Математическая теория. Москва, Мир, 1989. [Finn, R., Equilibrium capillary surfaces. New York, Springer, 1986.]
- Figalli, A., The Monge-Ampere equation and its applications. Zurich Lectures in Advanced Mathematics. European Mathematical Society, Zurich, 2017.
Скачивания
Загрузки
Даты
Поступила в редакцию
Принята к публикации
Публикация
Как цитировать
Лицензия
Copyright (c) 2022 Щербаков М.Е., Щербаков Е.А.
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.
