Функционал гауссовой кривизны в классе выпуклых поверхностей Лиувилля с краем

Авторы

  • Щербаков М.Е. Кубанский государственный университет, Краснодар, Russian Federation
  • Щербаков Е.А. Кубанский государственный университет, Краснодар, Russian Federation

УДК

519.7

DOI:

https://doi.org/10.31429/vestnik-19-3-25-37

Аннотация

В работе рассматривается класс допустимых гладких выпуклых поверхностей Лиувилля с краем. В ней выводится нелинейное уравнение Бельтрами, решения которого определяют переход от произвольной изотермической параметризации к полугеодезической. С использованием представлений геодезических линий поверхностей Лиувилля устанавливается, что в случае поверхностей Лиувилля оно приводится к линейному уравнению. С использованием известных явных представлений геодезических линий поверхностей Лиувилля конструируется топологическое отображение на область, определяемую распределением геодезических линий поверхности. Доказывается, что оно является решением найденного уравнения Бельтрами и осуществляет переход от изотермической параметризации поверхности к полугеодезической. С использованием теоремы о разрешимости задачи Дирихле для уравнения Монжа-Ампера, теоремы о существовании локальной полугеодезической параметризации для любой гладкой поверхности с невырожденной первой квадратичной формой, а также свойств гомеоморфизмов, являющихся решениями полученного уравнения Бельтрами, устанавливается, что класс допустимых поверхностей не пуст. На классе допустимых поверхностей по аналогии с осесимметрическим случаем определяется функционал Гауссовой кривизны. Доказывается существование специальных вариаций допустимых поверхностей, не выводящих из класса допустимых, на которых вариация функционала определяется Гауссовой кривизной варьируемой поверхности.

Ключевые слова:

выпуклая поверхность Лиувилля с краем, изотермическая параметризация, глобальная полугеодезическая параметризация, локальная полугеодезическая параметризация, уравнение Бельтрами, квазиконформные отображения, задача Дирихле, уравнение Монжа-Ампера, гауссова кривизна, функционал гауссовой кривизны

Информация об авторах

Михаил Евгеньевич Щербаков

преподаватель кафедры функционального анализа и алгебры Кубанского государственного университета

e-mail: latiner@mail.ru

Евгений Александрович Щербаков

профессор кафедры теории функций Кубанского государственного университета

e-mail: ko4ep@mail.ru

Библиографические ссылки

  1. Shcherbakov, E., Equilibrium state of a pendant drop with inter-phase layer. Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen, 2012, vol. 31, с. 1–15. DOI: 10.4171/ZAA
  2. Shcherbakov, E., Shcherbakov, M., On equilibrium of the pendant drop taking into account the flexural rigidity of intermediate layer. Doklady Physics, 2012, vol. 53, iss. 6, pp. 243–244.
  3. Shcherbakov, E.A., Shcherbakov, M.E., On equilibrium of pendant drop its flexural rigidity of intermediate layer being accounted for. Ekologicheskiy vestnik nauchnykh tsentrov Chernomorskogo ekonomicheskogo sotrudnichestva = Ecological Bulletin of Research Centers of the Black Sea Economic Cooperation, 2016, no. 3, pp. 87–94.
  4. Финн, Р., Равновесные капиллярные поверхности. Математическая теория. Москва, Мир, 1989. [Finn, R., Equilibrium capillary surfaces. New York, Springer, 1986.]
  5. Figalli, A., The Monge-Ampere equation and its applications. Zurich Lectures in Advanced Mathematics. European Mathematical Society, Zurich, 2017.

Загрузки

Выпуск

Раздел

Математика

Страницы

25-37

Отправлено

2022-09-20

Опубликовано

2022-10-12

Как цитировать

Щербаков М.Е., Щербаков Е.А. Функционал гауссовой кривизны в классе выпуклых поверхностей Лиувилля с краем // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2022. Т. 19, №3. С. 25-37. DOI: https://doi.org/10.31429/vestnik-19-3-25-37