Функционал гауссовой кривизны в классе выпуклых поверхностей Лиувилля с краем

Аннотация

В работе рассматривается класс допустимых гладких выпуклых поверхностей Лиувилля с краем. В ней выводится нелинейное уравнение Бельтрами, решения которого определяют переход от произвольной изотермической параметризации к полугеодезической. С использованием представлений геодезических линий поверхностей Лиувилля устанавливается, что в случае поверхностей Лиувилля оно приводится к линейному уравнению. С использованием известных явных представлений геодезических линий поверхностей Лиувилля конструируется топологическое отображение на область, определяемую распределением геодезических линий поверхности. Доказывается, что оно является решением найденного уравнения Бельтрами и осуществляет переход от изотермической параметризации поверхности к полугеодезической. С использованием теоремы о разрешимости задачи Дирихле для уравнения Монжа-Ампера, теоремы о существовании локальной полугеодезической параметризации для любой гладкой поверхности с невырожденной первой квадратичной формой, а также свойств гомеоморфизмов, являющихся решениями полученного уравнения Бельтрами, устанавливается, что класс допустимых поверхностей не пуст. На классе допустимых поверхностей по аналогии с осесимметрическим случаем определяется функционал Гауссовой кривизны. Доказывается существование специальных вариаций допустимых поверхностей, не выводящих из класса допустимых, на которых вариация функционала определяется Гауссовой кривизной варьируемой поверхности.