Эффективность применения энергетического метода для численно-аналитического решения смешанной задачи теории упругости
УДК
539.3EDN
IQLBSNDOI:
10.31429/vestnik-22-3-24-35Аннотация
Рассмотрен процесс построения численно-аналитического решения основной смешанной краевой задачи статической теории упругости (ТУ). Определяющим соотношениям линейной однородной изотропной упругой среды эквивалентна система трех разрешающих уравнений Ламе, каждое — линейное второго порядка относительно частных производных. Средствами энергетического метода граничных состояний (МГС) с помощью разложения искомого состояния в ряд Фурье по элементам сепарабельного базиса гильбертова пространства состояний краевая задача математической физики приводится к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Построение базиса опирается на вариант общего решения системы уравнений эллиптического типа. Каждое базисное состояние создается посредством использования гармонических многочленов. Ортогонализация проводится алгоритмом Грама–Шмидта. Граничные условия (ГУ) основной смешанной задачи предполагают разбиение границы тела на два класса. На одной части границы заданы перемещения точек, на оставшейся — поверхностные усилия. СЛАУ содержит информацию как о содержимом базиса (матрица коэффициентов), так и о значениях характеристик ГУ (вектор правых частей). Точность решения оценивается двумя факторами: 1) неравенство Бесселя; 2) интегральная квадратичная невязка восстановленного граничного состояния с ГУ. Использование обоих факторов приводит к эффекту самодостаточности МГС: нет необходимости в сопоставлении пробных решений с эталонными, построенными иными методами. Выполнены конкретные расчеты для двух классов смешанных задач: 1) ограниченное двуполостное тело (шар с двумя симметрично расположенными сферическими полостями. Задано жесткое встречное смещение поверхностей полостей, внешняя граница тела свободна от нагрузки; 2) упругий круговой цилиндр закреплен с жестким штоком по части одного основания. Боковая поверхность нагружена касательными усилиями, направленными вдоль оси цилиндра. Во второй задаче испытывается сингулярный скачок характеристик граничного состояния по линии раздела ГУ, принадлежащей границе тела. Построены численно-аналитические решения обеих задач, проиллюстрированы поля характеристик НДС тела, выполнены комментарии состояний и сделаны выводы.
Ключевые слова:
теория упругости, основная смешанная задача, энергетические методы, метод граничных состояний, пространства состояний, изоморфизм гильбертовых пространствИнформация о финансировании
Исследование не имело спонсорской поддержки.
Библиографические ссылки
- Работнов, Ю.Н., Механика деформируемого твердого тела. Москва, Наука, 1979. [Rabonov, Yu.N., Mekhanika deformiruemogo tverdogo tela = Mechanics of deformable solids. Moscow, Nauka Publ., 1979. (in Russian)]
- Лурье, А.И., Теория упругости. Москва, Наука, 1970. [Lurie, A.I., Teoriya uprugosti = Theory of elasticity. Moscow, Nauka, 1970. (in Russian)]
- Ректорис, К., Вариационные методы в математической физике и технике. Москва, Мир, 1985. [Rektoris, K., Variatsionnye metody v matematicheskoy fizike i tekhnike = Variational methods in mathematical physics and engineering. Moscow, Mir, 1985. (in Russian)]
- Пеньков, В.В., Метод граничных состояний в задачах линейной механики: дисс. ... канд. физ.-мат. наук. Тула, 2002. [Penkov, V.V., Metod granichnykh sostoyaniy v zadachakh lineynoy mekhaniki = The method of boundary states in problems of linear mechanics: diss. ... cand. phys.-math. sciences, PhD, Tula, 2002. (in Russian)]
- Харитоненко, А.А., Моделирование состояний гармонических сред: дисс. ... канд. физ.-мат. наук. Липецк, 2006. [Kharitonenko, A.A., Modelirovanie sostoyaniy garmonicheskikh sred = Modeling of the states of harmonic media: diss. ... cand. phys.-math. sciences. Lipetsk, 2006. (in Russian)]
- Саталкина, Л.В., Метод граничных состояний в задачах теории упругости неоднородных тел и термоупругости: дисс. ... канд. физ.-мат. наук. Липецк, 2010. [Satalkina, L.V., Metod granichnykh sostoyaniy v zadachakh teorii uprugosti neodnorodnykh tel i termouprugosti = The method of boundary states in problems of the theory of elasticity of inhomogeneous bodies and thermoelasticity: diss. ... cand. phys.-math. sciences. Lipetsk, 2010. (in Russian)]
- Иванычев, Д.А., Метод граничных состояний в задачах теории упругости для анизотропных сред: дисс. ... канд. физ.-мат. наук. Тула, 2010. [Ivanychev, D.A., Metod granichnykh sostoyaniy v zadachakh teorii uprugosti dlya anizotropnykh sred = The method of boundary states in problems of elasticity theory for anisotropic media: diss. ... cand. phys.-math. sciences. Tula, 2010. (in Russian)]
- Стебенев, И.Н., Метод граничных состояний в задачах теории упругости об установившихся колебаниях изотропных тел: дисс. ... канд. физ.-мат. наук. Липецк, 2003. [Stebenev, I.N., Metod granichnykh sostoyaniy v zadachakh teorii uprugosti ob ustanovivshikhsya kolebaniyakh izotropnykh tel = The method of boundary states in problems of the theory of elasticity on steady-state vibrations of isotropic bodies: diss. ... cand. phys.-math. sciences. Lipetsk, 2003. (in Russian)]
- Рязанцева, Е.А., Метод граничных состояний в задачах теории упругости с сингулярностями физического и геометрического характера: дисс. ... канд. физ.-мат. наук. Липецк, 2015. [Ryazantseva, E.A., Metod granichnykh sostoyaniy v zadachakh teorii uprugosti s singulyarnostyami fizicheskogo i geometricheskogo kharaktera = The method of boundary states in problems of the theory of elasticity with singularities of a physical and geometric nature: diss. ... cand. phys.-math. sciences. 2015. (in Russian)]
- Шульмин, А.С., Равновесие изотропного упругого пространства, содержащего полости и включения: дисс. ... канд. физ.-мат. наук. Липецк, 2014. 68 [Shulmin, A.S., Ravnovesie izotropnogo uprugogo prostranstva, soderzhashchego polosti i vklyucheniya = The equilibrium of an isotropic elastic space containing cavities and inclusions: diss. ... cand. phys.-math. sciences. Lipetsk, 2014. (in Russian)]
- Новикова, О.С., Построение полнопараметрических аналитических решений задач теории упругости на основе метода граничных состояний: дисс. ... канд. физ.-мат. наук. Липецк, 2019. [Novikova, O.S., Postroenie polnoparametricheskikh analiticheskikh resheniy zadach teorii uprugosti na osnove metoda granichnykh sostoyaniy = Construction of full-parametric analytical solutions to problems of elasticity theory based on the boundary state method: diss. ... cand. phys.-math. sciences. Lipetsk, 2019. (in Russian)]
- Папкович, П.Ф., Теория упругости. Москва, Оборонгиз, 1939, [Papkovich, P.F., Teoriya uprugosti = Theory of elasticity. Moscow, Oborongiz, 1939. (in Russian)]
- Аржаных, И.С., Интегральные уравнения основных задач теории поля и теории упругости. Ташкент, Изд-во АН УзбССР, 1954. [Arzhanykh, I.S., Integral'nye uravneniya osnovnykh zadach teorii polya i teorii uprugosti = Integral equations of the basic problems of field theory and elasticity theory. Tashkent, Publishing House of the Academy of Sciences of the Uzbek SSR, 1954. (in Russian)]
- Слободянский, М.Г., Общие формы решений уравнений упругости для односвязных и многосвязных областей, выраженных через гармонические функции. Прикладная математика и механика, 1954, т. 18, с. 55–74. [Slobodyansky, M.G., General forms of solutions of elasticity equations for simply connected and multiply connected regions expressed in terms of harmonic functions. Prikladnaya matematika i mekhanika = Applied Mathematics and Mechanics, 1954, vol. 18, pp. 55–74. (in Russian)]
- Колмогоров, А.Н., Элементы теории функций и функционального анализа. Москва, ФИЗМАТЛИТ, 2004. [Kolmogorov, A.N., Elementy teorii funktsiy i funktsional'nogo analiza = Elements of the theory of functions and functional analysis. Moscow, FIZMATLIT, 2004. (in Russian)]
- Пеньков, В.Б., Левина, Л.В., Сравнительный анализ процедур ортогонализации базисов евклидовых и гильбертовых пространств. Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований, 2020, № 3, с. 103–107. [Penkov, V.B., Levina, L.V., Comparative analysis of orthogonalization procedures for bases of Euclidean and Hilbert spaces. Mezhdunarodnyy zhurnal prikladnykh i fundamental'nykh issledovaniy = International Journal of Applied and Fundamental Research, 2020, no. 3, pp. 103–107. (in Russian)]
- Пеньков, В.Б., Саталкина, Л.В., Шульмин, А.С., Применение метода граничных состояний для анализа упругой среды с полостями и включениями. Прикладная математика и механика, 2014, т. 78, вып. 4, с. 1–15. [Penkov, V.B., Satalkina, L.V., Shulmin, A.S., Application of the boundary state method for the analysis of elastic media with cavities and inclusions. Prikladnaya matematika i mekhanika = Applied Mathematics and Mechanics, 2014, vol. 78, iss. 4, pp. 1–15. (in Russian)]
- Мусхелишвили, Н.И., Некоторые основные задачи математической теории упругости. Москва, Наука, 1966. [Muskhelishvili, N.I., Nekotorye osnovnye zadachi matematicheskoy teorii uprugosti = Some basic problems of the mathematical theory of elasticity. Moscow, Nauka, 1966. (in Russian)]
Скачивания
Даты
Поступила в редакцию
Принята к публикации
Публикация
Как цитировать
Лицензия
Copyright (c) 2025 Пеньков В.Б., Левина Л.В., Крупнов А.И., Черкивский М.А.
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.
