Bending of a finite moment elastic rod under the effect of an unsteady load

Authors

  • Tarlakovskii D.V. Research Institute of Mechanics, Lomonosov Moscow State University, Moscow; Moscow Aviation Institute (National Research University), Moscow, Russian Federation ORCID 0000-0002-9556-7442
  • Mai Q.C. Moscow Aviation Institute (National Research University), Moscow, Russian Federation ORCID 0009-0003-7132-124X

UDC

539.3

DOI:

https://doi.org/10.31429/vestnik-21-3-45-60

Abstract

To study the unsteady bending of a moment-elastic rod of finite length under the action of unsteady load. The system of equations of the general model of bodies without additional assumptions is used. The rod material is assumed to be homogeneous and isotropic. In addition to the elastic constants of the material, additional physical parameters of the medium are taken into account, which are necessary when taking into account moment effects in the material. Generalized conditions of hinge support are used as boundary conditions at both ends of the rod. The initial conditions are assumed to be zero. To solve the problem, the expansion of functions and external loads into trigonometric Fourier series is used. Their substitution into the initial relations leads to a system of equations for the coefficients of the series. To solve it, the Laplace transform over time is used. The calculation example considers the bending of a moment-elastic rod under the action of a concentrated force.

Keywords:

moment elastic rod, initial boundary value problem, Fourier series, Laplace integral transform, Green's functions, transient functions, wave processes

Acknowledgement

The work was supported by the Russian Science Foundation (project No. 20-19-00217).

Author Infos

Dmitrii V. Tarlakovskii

д-р физ.-мат. наук, профессор, заведующий лаборатории динамических испытаний Института механики МГУ и Московском авиационном институте (национальном исследовательском университете)

e-mail: tdvhome@mail.ru

Quoc Chien Mai

аспирант кафедры «Сопротивление материалов, динамика и прочность машин» Московского авиационного института (национального исследовательского университета)

e-mail: chienvk23@gmail.com

References

  1. Cosserat, E., Cosserat, F., Theorie des corps deformables. Paris, A. Hermann et fils, 1909. (Reprint 2009)
  2. Ерофеев, В.И., Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой. Москва, Изд-во Моск. ун-та, 1999. [Erofeev, V.I., Volnovye protsessy v tverdykh telakh s mikrostrukturoy = Wave Processes in Solids with Microstructure. Moscow, Moscow University Press, 1999. (in Russian)]
  3. Кулеш, М.А., Грекова, Е.Ф., Шардаков, И.Н., Задача о распространении поверхностной волны в редуцированной среде Коссера. Акустический журнал, 2009, т. 55, № 2, с. 216–225. [Kulesh, M.A., Grekova, E.F., Shardakov, I.N., The problem of surface wave propagation in a reduced Cosserat medium. Akusticheskiy zhurnal = Acoustical Physics, 2009, vol. 55, № 2, pp. 216–225 (in Russian)]
  4. Кулеш, М.А., Матвеенко, В.П., Улитин, М.В., Шардаков, И.Н., Анализ волнового решения уравнений эластокинетики среды Коссера в случае плоских объемных волн. ПМТФ, 2008, т. 49, № 2, с. 196–203. [Kulesh, M.A., Matveenko, V.P., Ulitin, M.V., Shardakov, I.N., Analysis of the wave solution of the Cosserat medium elastokinetic equations in the case of plane body waves. Prikladnaya mekhanika i tekhnicheskaya fizika = Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, 2008, vol. 49, no. 2, pp. 196–203. (in Russian)]
  5. Кулеш, М.А., Матвеенко, В.П., Шардаков, И.Н., Дисперсия и поляризация поверхностных волн Рэлея для среды Коссера. Изв. РАН. МТТ, 2007, № 4, с. 100–113. [Kulesh, M.A., Matveenko, V.P., Shardakov, I.N., Dispersion and polarization of rayleigh surface waves for a Cosserat medium. Izvestiya Rossiyskoy akademii nauk. Mekhanika tverdogo tela = Mechanics of Solids, 2007, no. 4, pp. 100–113. (in Russian)]
  6. Кулеш, М.А., Матвеенко, В.П., Шардаков, И.Н., О распространении упругих поверхностных волн в среде Коссера. Акустический журнал, 2006, т. 52, № 2, с. 227–235. [Kulesh, M.A., Matveenko, V.P., Shardakov, I.N., On the propagation of elastic surface waves in a Cosserat medium. Akusticheskiy zhurnal = Acoustical Physics, 2006, vol. 52, № 2, pp. 227–235. (in Russian)]
  7. Лай, Тхань Туан, Тарлаковский, Д.В., Распространение нестационарных кинематических возмущений от сферической полости в псевдоконтинууме Коссера. МКМК, 2011, т. 17, № 2, с. 184–195. [Lay, Tkhan Tuan, Tarlakovskiy, D.V., Propagation of nonstationary kinematic perturbations from a spherical cavity in the Cosserat pseudocontinuum. Mekhanika kompozitsionnykh materialov i konstruktsiy = Journal on Composite Mechanics and Design, 2011, vol. 17, no. 2, pp. 184–195. (in Russian)]
  8. Лай, Тхань Туан, Тарлаковский, Д.В., Распространение нестационарных осесимметричных возмущений от поверхности шара, заполненного псевдоупругой средой Коссера. Электронный журнал "Труды МАИ", 2012, № 53.[Lay, Tkhan Tuan, Tarlakovskiy, D.V., Propagation of nonstationary axisymmetric perturbations from the surface of a sphere filled with a pseudoelastic Cosserat medium. Elektronnyy zhurnal "Trudy MAI" = Electronic journal "Proceedings of MAI", 2012, no. 53. (in Russian)] URL:  http://trudymai.ru/published.php?ID=29267
  9. Лай, Тхань Туан, Тарлаковский, Д.В., Дифракция нестационарных волн на сферической полости в псевдоконтинууме Коссера. РЭНСИТ, 2013, т. 5, № 1, с. 119–125. [Lay, Tkhan Tuan, Tarlakovskiy, D.V., Diffraction of nonstationary waves by a spherical cavity in the Cosserat pseudocontinuum. Radioelektronika. Nanosistemy. Informatsionnye tekhnologii = Radioelectronics. Nanosystems. Information technologies, 2013, vol. 5, № 1, pp. 119–125. (in Russian)]
  10. Ерофеев, В.И., Кажаев, В.В., Семерикова, Н.П., Макромеханическое моделирование упругой и вязкоупругой сред Коссера. Вычисл. мех. сплош. сред, 2009, т. 2, № 2, с. 40–47. [Erofeev, V.I., Kazhaev, V.V., Semerikova, N.P., Macromechanical modeling of elastic and viscoelastic Cosserat media. Vychislitel'naya mekhanika sploshnykh sred = Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, 2009, vol. 2. no. 2, pp. 40–47. (in Russian)]
  11. Садовский, В.М., Садовская, О.В., Варыгина, М.П., Численное моделирование пространственных волновых движений в моментных средах. Вычисл. мех. сплош. сред, 2009, т. 2, № 4, с. 111–121. [Sadovskiy, V.M., Sadovskaya, O.V., Varygina, M.P., Numerical simulation of spatial wave motions in moment media. Vychislitel'naya mekhanika sploshnykh sred = Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, 2009, vol. 2, № 4. pp. 111–121 (in Russian)]
  12. Саркисян, С.О., Хачатрян, М.В., Математическая модель статической деформации микрополярного упругого стержня с круговой осью и метод конечных элементов. 60 Международная научная конференция "Актуальные проблемы прочности", Витебск, 14–18 мая 2018 года. Витебск: Витебский государственный технологический университет, 2018, с. 198–200. [Sarkisyan, S.O., Khachatryan, M.V., Mathematical model of static deformation of a micropolar elastic rod with a circular axis and the finite element method. 60 Mezhdunarodnaya nauchnaya konferentsiya "Aktualnye problemy prochnosti" = 60th International Scientific Conference "Actual Problems of Strength", Vitebsk, May 14–18, 2018. Vitebsk, Vitebsk State Technological University, 2018, pp. 198–200. (in Russian)]
  13. Саркисян, С.О., Хачатрян, М.В., Построение модели изгиба микрополярных упругих тонких стержней с круговой осью и ее реализация методом конечных элементов. Вычислительная механика сплошных сред, 2020, т. 13, № 3, с. 256–268. [Sarkisyan, S.O., Khachatryan, M.V., Construction of a bending model for micropolar elastic thin rods with a circular axis and its implementation by the finite element method. Vychislitelnaya mekhanika sploshnykh sred = Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, 2020, vol. 13, № 3, pp. 256–268. (in Russian)]
  14. Илюхин, А.А., Тимошенко, Д.В., Построение основных соотношений одномерной микрополярной теории упругих стрежней. Изв. Сарат. ун-та. Нов. cер. Сер. Математика. Механика. Информатика, 2008, т. 8, № 4, с. 52–61. [Ilyukhin, A.A., Timoshenko, D.V., Construction of the main relations of the one-dimensional micropolar theory of elastic rods. Izvestiya Saratovskogo universiteta. Novaya seriya. Seriya Matematika. Mekhanika. Informatika = Izvestia Saratov University. New Series. Series Mathematics. Mechanics. Computer Science, 2008, vol. 8, no. 4, pp. 52–61. (in Russian)]
  15. Илюхин, А.А., Попов, А.К., Растяжение микрополярного естественно закрученного стержня. Научно-технический вестник Поволжья, 2011, № 6, с. 37–42. [Ilyukhin, A.A., Popov, A.K., Stretching of a micropolar naturally twisted rod. Nauchno-tekhnicheskiy vestnik Povolzhya = Scientific and Technical Bulletin of the Volga Region, 2011, no. 6, pp. 37–42. (in Russian)]
  16. Aganovi\'{c}, I., Tamba\v{c}a, J., Tutek, Z., Derivation of the model of elastic curved rods from three-dimensional micropolar elasticity. Annali dell'Universita di Ferrara, 2007, vol. 53, iss. 2, p. 109–133. DOI: 10.1007/s11565-007-0017-x
  17. Михайлова, Е.Ю., Тарлаковский, Д.В., Федотенков, Г.В., Обобщенная линейная модель динамики тонких упругих оболочек. Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки, 2018, т. 160, кн. 3, с. 561–577. [Mihajlova, E.Y., Tarlakovskii, D.V., Fedotenkov, G.V., A generalized linear model of dynamics of thin elastic shells. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2018, vol. 160. no. 3. pp. 561–577. (in Russian)]
  18. Mai, Q.C., Ryazantseva, M.Y., Tarlakovskii, D.V., Generalized linear model of dynamics of elastic moment shells. In: Altenbach, H., Eremeyev, V.A., Igumnov, L.A., Bragov, A. (eds), Deformation and Destruction of Materials and Structures Under Quasi-static and Impulse Loading. Advanced Structured Materials, 2023. vol. 186, Springer, Cham. DOI: 10.1007/978-3-031-22093-711
  19. Тарлаковский, Д.В., Федотенков, Г.В., Май, Куок Чиен, Продольные нестационарные колебания конечного моментного упругого стержня. Проблемы прочности и пластичности, 2023, т. 85, № 3, с. 390–403. [Tarlakovskii, D.V., Fedotenkov, G.V., Mai, Quoc Chien, Longitudinal transient vibrations of a finite moment elastic rod. Problemy prochnosti i plastichnosti = Journal Problems of Strength and Plasticity, 2023, vol. 85, no. 3, pp. 390–403. (in Russian)] DOI: 10.32326/1814-9146-2023-85-3-390-403
  20. Okonechnikov, A.S., Tarlakovsky, D.V., Fedotenkov, G.V., Spatial non-stationary contact problem for a cylindrical shell and absolutely rigid body. Mechanics of Solids, 2020, vol. 55, iss. 3, pp. 366–376. DOI: 10.3103/S0025654420030127
  21. Vahterova, Y.A., Fedotenkov, G.V., The inverse problem of recovering an unsteady linear load for an elastic rod of finite length. Journal of Applied Engineering Science, 2020, vol. 18, iss. 4, pp. 687–692. DOI: 10.5937/jaes0-28073
  22. Fedotenkov, G.V., Tarlakovsky, D.V., Vahterova, Y.A., Identification of non-stationary load upon Timoshenko beam. Lobachevskii Journal of Mathematics, 2019, vol. 40, no. 4, pp. 439–447. DOI: 10.1134/S1995080219040061
  23. Fedotenkov, G.V., Gritskov, A.V., Levitskiy, D.Y., Vahterova, Y.A., Sun, Y., Timoshenko beam and plate non-stationary vibrations. INCAS Bulletin, 2021, vol. 13, Special Issue, pp. 41–56. DOI: 10.13111/2066-8201.2021.13.S.5
  24. Lokteva, N.A., Serdyuk, D.О., Skopintsev, P.D., Transient deformation of an anisotropic cylindrical shell with structural features. Journal of The Institution of Engineers (India): Series C, 2023, vol. 104, iss. 2, pp. 455–466. DOI: 10.1007/s40032-023-00915-2
  25. Lokteva, N.A., Serdyuk, D.О., Skopintsev, P.D., Non-stationary influence function for an unbounded anisotropic Kirchhoff-love shell. Journal of Applied Engineering Science, 2020, vol. 18, iss. 4, pp. 737–744. DOI: 10.5937/jaes0-28205

Downloads

Issue

2024. Vol. 21. No. 3

Section

Mechanics

Pages

45-60

Submitted

2024-08-30

Published

2024-09-24

How to Cite

Tarlakovskii D.V., Mai Q.C. Bending of a finite moment elastic rod under the effect of an unsteady load. Ecological Bulletin of Research Centers of the Black Sea Economic Cooperation, 2024, vol. 21, no. 3, pp. 45-60. DOI: https://doi.org/10.31429/vestnik-21-3-45-60 (In Russian)

Copyright (c) 2024 Tarlakovskii D.V., Mai Q.C.

Creative Commons License

This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.