On the properties of topological discretization of solutions to boundary value problems [ Топологическая дискретизация решений граничных задач механики сплошных сред ]

Аннотация

В данной работе впервые показано, что упакованные блочные элементы, используемые при решении краевой задачи методом блочных элементов, являются элементами дискретного топологического пространства. Поскольку решения краевых задач относятся к дискретному топологическому пространству, а не к уравнениям, можно получить решение в новой системе координат без необходимости изучения краевой задачи. Применяемый в задачах механики сплошных сред метод блочных элементов, имеющий связь с топологией, может стать более эффективным в прикладных задачах, если более глубоко использовать общие свойства детально изученных топологических пространств. Одним из важных свойств топологии является существование дискретных топологических пространств. Их характерным свойством является то, что элемент, представляющий собой Объединение любого множества элементов в топологическом пространстве, принадлежит дискретному топологическому пространству. Принадлежность дискретных блочных элементов к топологическому пространству означает, что можно полностью покрыть любую область кусочно-гладкой границей и, таким образом, получить в ней точное решение краевой задачи. В топологическом пространстве возможны непрерывные геометрические преобразования и переходы к новым системам координат. В данной работе показано, что упакованные блочные элементы, порожденные краевой задачей для уравнения Гельмгольца, являются элементами дискретного топологического пространства. Учитывая, что скалярные решения уравнения Гельмгольца могут описывать решения достаточно широкого набора векторных краевых задач, это свойство применимо и к решениям более сложных краевых задач. Построения, выполненные для однородного уравнения Гельмгольца, остаются в силе и для неоднородного.